La parabole cachée [LYCÉE]

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La parabole cachée [LYCÉE]
Posté par 
Alishisap  06-09-18 à 15:42
Bonjour à tous,

voici un petit exo que je trouve sympa dédié aux lycéens pour revoir un peu les paraboles et avoir l'occasion d'un peu manipuler les fonctions à paramètres (il est sans doute très classique, bien que je ne l'aie jamais rencontré dans ma scolarité), bien entendu tout le monde peut jouer :

Soit  réels fixés. Soit, pour tout  réel,  et pour  réel,  la parabole représentative de  et  son sommet.

On note enfin  c'est-à-dire l'ensemble des sommets des paraboles . C'est donc bien un ensemble de points.

Questions

1. Montrer que  décrit une parabole  dont on déterminera l'équation.

2. Soit  réel. Déterminer la ou les intersections, s'il y en a, entre  et . Que peut-on constater ?

Indication pour les élèves en difficulté : faire une modélisation à l'aide d'un logiciel de géométrie peut permettre de rapidement établir des hypothèses.
 Posté par 
Alishisapre : La parabole cachée [LYCÉE]  06-09-18 à 15:57
Petit oubli : bien entendu,  (dans la définition de ).
 Posté par 
LittleFoxre : La parabole cachée [LYCÉE]  06-09-18 à 16:58

Salut, je pense être un peu au dessus du niveau du lycée mais c'était sympa de rejouer avec des fonctions paramétriques 

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Le sommet de la parabole  est en . En remplaçant dans l'équation on obtient 

Donc , ce qui est une parabole.

Les intersections sont données quand .

Donc on a une intersection au sommet de la parabole (c'est la définition de  en même temps) et en . C'est le point commun à toutes les paraboles. En particulier quand  c'est aussi le sommet de la parabole et donc ce point appartient à .

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Sylvieg re : La parabole cachée [LYCÉE]  09-09-18 à 07:37
Bonjour,

Idem   

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1) Les coordonnées de Sk sont :

k  =  -k/2a     et    k  =  k2/(4a) - k2/(2a) +c  =  -k2/(4a) + c  =  -a(k)2 + c .

Quand  k  décrit  ,   -k/(2a)  décrit    ; Donc le point  Sk décrit toute la parabole  Q  d'équation  y = -ax2 + c .

Remarque : Je trouve bizarre d'écrire qu'un ensemble décrit une parabole. L'ensemble des points  Sk  est une parabole car le point  Sk  décrit cette parabole quand  k  décrit   .

2) En résolvant l'équation aux abscisses  -ax2+c = ax2+kx+c , on trouve deux points d'intersection  A(0,c)  et  Sk .

A  est le point commun à toutes les paraboles.

Merci pour cet exercice  
 Posté par 
Sylvieg re : La parabole cachée [LYCÉE]  09-09-18 à 18:52
Petit complément du soir :
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2) Les 2 points sont confondus si  k=0 .
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interpolre : La parabole cachée [LYCÉE]  10-09-18 à 10:04
Bonjour,

Je pense à une autre solution:

soit   les racines de l'équation ,nous avons:

  ,'c' est connu ,éliminons x2

nous obtenons alors  

Calculs faits une parabole en x1  

Alain
 Posté par 
LittleFoxre : La parabole cachée [LYCÉE]  10-09-18 à 11:45
interpol @ 10-09-2018 à 10:04

Bonjour,

Je pense à une autre solution:

soit   les racines de l'équation ,nous avons:

[...]

Tu parles de quelle équation? En quoi les racines (l'intersection avec l'axe des abscisses) nous aide? 
 Posté par 
Alishisapre : La parabole cachée [LYCÉE]  15-09-18 à 10:48
Bonjour à tous et merci pour vos réponses (bien évidemment correctes) et merci Sylvieg pour la remarque , je retiens 

Je vais donner ma solution mais pour une variante (la technique est transposable pour le problème d'origine) : que se passe-t-il quand c'est le coefficient devant  qui varie ?

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Soit pour tout  réel ,  réels fixés.

Soit . On pose 

Le sommet a pour coordonnées 

Or pour tout 

Donc pour tout  en injectant dans l'ordonnée du sommet, 

Donc quand  parcours R sauf 0 et ,  décrit la droite .

Si  alors  décrit juste le point .
  Posté par 
Alishisapre : La parabole cachée [LYCÉE]  15-09-18 à 11:06
Quant aux intersections :

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On résout pour  non nuls  soit .

Donc l'unique intersection entre la droite et  est  (si  la droite est juste réduite à ).