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La plantation rectangulaire
Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice dont l'énonce est:
La plantation de M. Abena a la forme d'un rectangle dont le perimètre est de 225m. Il sait que parmi toys les rectangles ayant ce perimètre, sa plantation à la surface la plus grande. Pour planter ses 176 arbres fruitiers, il doit d'abord agrandir son terrain par location d'un espace chez son voisin, il a alors un terrain rectangulaire de 135 m de long sur 90m de large. Il va planter ses arbres dans toute la plantation de telle sorte qu'il y ait un arbre à chaque extremité de la plantation et que les arbres soits regulierement espacés. Son fils Dupont, Ingénieur agronome, décide de choisir 5 arbres qu'il va traiter avec 4 engrais differents( engrais de type: A, B,C et D), deux de ces 5 arbres seront traités avec le même engrais et les trois autres avec des engrais differents.
1) Determiner les dimensions de la plantation de M. Abéna.
2)Determiner quel doit être la distance entre deux rangées d'arbres.
3) Determiner le nombre de sutuations possibles que pourra avoir l'ingénieur Dupont.
Ma piste:
Pour la première question, j'ai procedé comme suit.
P=225m.
On sait que P=2x+2y où x est la largeur , y la longueur et p le perimètre.
Donc, 2x+2y=225.
Je ''tire'' y : y=(225-2x)÷2
Aire=xy=x(225-2x)2
=(-2x²+225x)÷2.
Sa dérivée est A'=(-8x+450)÷4.
En posant A'=0 j'obtiens 8x=450 => x=56,25.
Donc on a un maximum en x=56,25.
y=A(x)=56,25.
Je trouve x=y ce qui est bizarre car il s'agit là d'un carré! Du coup, auriez vous une piste?
Bonjour,
c'est juste et il n'y a rien de bizarre
un carré est un rectangle particulier, qui est un parallélogramme particulier, etc qui est un quadrilatère particulier ...
et c'est "bien connu" que de tous les rectangles de périmètre donné, celui qui a la plus grande aire est un carré
l'exo consiste donc à le prouver (fait, mais il y a plus simple comme preuve, si on connait son cours sur le trinome)
okay merci pour vos explications 
.
2) D'abord, l'Aire de la plantation est:
A=90*135=12150m².
soit x l'espacement entre deux arbres. on a n=176 arbres.
Sur la largeur l on a :
sur la longueur , on a
en faisant la somme de ces équations, on a : 176+kx=225 (car la somme des n est =176) ; k étant la somme des espacements sur la largeur et la longueur
Du coup, je ''tire'' kx=49.
mais je ne sais pas comment avoir une valeur de k ...
rigoureusement rien compris à tes n0, n1 etc, k
à mon avis ça n'a absolument rien à voir avec le problème.
pas étonnant que ça coince !
x l'espace entre deux arbres
n espaces en largeur, nx = 90 ou encore n = 90/x, et ça fait n+1 arbres (car un arbre à chaque extrémité)
m espaces en longueur, mx = 135, m = 135/x, et m+1 arbres
nombre total d'arbres = (m+1)(n+1) = 176 (m+1 rangées de chacune n+1 arbres)
c'est à dire (90/x + 1)(135/x + 1) = 176
équation au final du second degré en x (après multiplication des deux côtés par x², développement et réduction)
et on rejettera la solution négative bien entendu
on en déduira m = 135/x et n = 90/x
on doit faire plus ou moins comme ça parce que rien ne permet d'affirmer que x soit un nombre entier de mètres.
(sinon on pourrait faire intervenir les diviseurs communs de 135 et 90)
ce qui est sur c'est que x = 90/n est forcément un nombre rationnel, sinon c'est impossible)
une autre façon de faire :
avec les mêmes inconnues on a (m+1)(n+1) = 176
et donc chercher les diviseurs de 176 (car m et n sont des nombres entiers)
mais il faudra essayer une par une chacune des possibilités 2*88, 4*44 etc pour le produit (m+1)(n+1) = 176
et tester si on en trouve une avec m/n = 135/90
(et pareil, si on n'en trouve pas c'est que c'est impossible)
alors que avec l'autre méthode il l'y a rien du tout à "essayer".
ce qui donne exactement 11*16=176arbres! 
3) Pour la question 3, je pense qu'on pourrait aussi appliquer la notion des arrangements.
2 arbres seront traités identiquement, donc on a 2! permutations possible.
le nombre total de situations est donc
N=
ça peut aller?
je ne comprends pas ton "2!"
2 arbres seront traités identiquement (par un même engrais)
il y a 4 choix possible de cet engrais là parmi les 4 engrais
et combien de façons de choisir les 2 arbres qui auront ce traitement là parmi les 5 arbres
et finalement de répartir les 3 engrais restants sur les 3 arbres restants
mais ??
quid du choix de ces 5 arbres parmi les 176 ? ou pas ?
l'énoncé n'est pas clair à ce sujet.
→4choix,
→il y 'a 10 choix pour choisir ces deux arbres parmi 5.
→pour repartir les 3 engrais restant , on a 6 choix.
oui l'énoncé n'en parle pas...
Ce qui fait 4+10+6=20.
Dans le cas où il s'agit d'un tirage successif avec remise on on aura 4*10*6=240 situations!
la question ne se pose pas !!
(réponse fausse)
ça ne veut strictement rien dire "tirage successif avec remise " dans ce contexte
il s'agit se savoir si les choix sont indépendants ou pas
y a pas de "tirages", on choisit et il s'agit de savoir le nombre de façons dont on peut faire ce choix, c'est un problème de dénombrement
il est particulièrement NUISIBLE d'avoir supprimé cette notion de dénombrement indépendamment de l'étude des statistiques, les dénombrements étant alors définis d'après des probabilités ce qui est ABSURDE. (c'est les probabilités qui sont définies à partir des dénombrements, de cardinaux d'ensembles)
on choisit l'un des 4 traitements (de 4 façons donc)
pour chacun de ces choix on choisit les 2 arbres à traiter
"pour chacun" , ça veut dire une multiplication.
si on choisit traitement A ; 10 choix des deux arbres
si on choisit traitement B : 10 choix des deux arbres
si on choisit traitement C : 10 choix des deux arbres
si on choisit traitement D : 10 choix des deux arbres
total
10 + 10 + 10 + 10 = 4x10
point barre
tes additions 4+ 10 ne riment absolument à rien du tout.
et pour chacun de ces 40 choix là on choisit les affectations des 3 traitements restants
donc encore une multiplication.
au final si on lit attentivement l'énoncé
Dupont, Ingénieur agronome, décide de choisir 5 arbres qu'il va traiter etc...
ce qu'on a calculé (240) est donc une fois qu'on a choisi ces 5 arbres.
mais cette phrase "il choisit" suggère bien qu'on a au départ un choix à faire de ces 5 arbres là parmi tous ceux de la plantation 
le doute est dans un certain flou de la question formulée
"le nombre de situations possibles"
qu'appelle-t-on une "situation" ?
il serait plus logique de dire que ce qui définit une situation c'est l'état, quel traitement ou aucun, de chacun des 176 arbres de la plantation,
Ah oui vraiment je vois qu'il y a des erreurs sémantiques dans l'énoncé...
Du coup, l'ingénieur a 240 possibilités si je peux le dire ainsi .
oui, une fois qu'il a choisi les 5 arbres de la plantation qu'il va utiliser pour son test d'engrais.
je te conseille de calculer aussi sur l'ensemble de la plantation (en tenant compte du nombre de choix possibles de ces 5 arbres là)
parce que comme j'ai dit il y a de très fortes chances que ce soit cette interprétation là qui soit dans l'esprit de celui qui a posé le problème, et pas avec 5 arbres en pot qu'il a isolé dans une serre en dehors.
voila
ce qui fait configurations possibles pour cet essai
on peut le calculer autrement :
ça devrait donner pareil 
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