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La puissance d'attraction de 10 320

Posté par
vaness62
02-01-18 à 16:27

Bonjour à tous, tout d'abord je vous souhaite mes meilleurs voeux pour l'année 2018. J'ai un DM de maths pour la rentrer. Quelles que questions me pose problème pouvez-vous m'aider svp ?
Hugo et Léa aiment bien se défier sur des petits jeux : Hugo demande à Léa de choisir un
nombre entre 1 000 et 2 000 et Léa choisit le nombre 1 200. Hugo lui dit :
• Tu prends sa moitié puis tu lui ajoutes 5 160.
• Tu reprends la moitié du résultat obtenu puis tu ajoutes de nouveau 5 160.
• Tu peux continuer ainsi autant de fois que tu veux, je suis sûr que tu ne dépasseras jamais
11 000 !
Léa commence ses calculs. Après quelques étapes, elle dit : « C'est étrange. Quand je vois les
premiers nombres que j'obtiens, j'imagine que je vais dépasser 11 000. Je ne te crois pas ! ».
1. a. À l'aide d'un tableur ou de la calculatrice, déterminer les premiers nombres obtenus
par Léa après quelques étapes.
b. Que peut-on penser de l'affirmation d'Hugo ?
c. Le tableur permet-il d'affirmer qu'elle est toujours vraie, quel que soit le nombre d'étapes
que fera Léa ?
On modélise la situation à l'aide de la suite (un) donnant le nombre obtenu après n étapes,
de sorte que u0 = 1 200.
2. a. Exprimer un+1 en fonction de un.
b. Pour justifier correctement l'affirmation d'Hugo, il faut procéder de « proche en proche » :
on dit que l'on fait un raisonnement par récurrence.
i. Traduire l'affirmation de Hugo par une relation sur un.
ii. L'affirmation d'Hugo est-elle vraie pour n = 0 ? On dit que la propriété est initialisée.
iii. Soit n un entier naturel. Supposons que un < 11 000.
Montrer qu'alors le terme suivant un+1 est lui aussi inférieur à 11 000.
On vient de montrer que la propriété est héréditaire, c'est-à-dire que si elle est
vraie à un rang alors elle est également vraie au rang suivant (elle se transmet au
rang suivant).
iv. Sans calcul, justifier que u1 < 11 000 puis u2 < 11 000 puis u3 < 11 000, etc.
Propriété 1
Le principe de récurrence permet d'affirmer que si une propriété est initialisée et héréditaire alors
cette propriété est vraie pour tout n à partir du rang de l'initialisation.
Comme c'est le cas ici (à partir de n = 0), on peut affirmer que :
un < 11 000 pour tout n > 0.

3. La propriété reste-t-elle vraie si Léa choisit 1 600 comme valeur de départ ?
4. Soit maintenant la suite (un) définie par, u0 ∈ R et pour tout entier naturel n :
un+1 = 0, 5un +5160
.
a. Démontrer que la suite (vn = un −10320) est géométrique. On précisera sa raison.
b. Déterminer en fonction de u0, le rang à partir duquel tous les termes de la suite (un)
sont inférieurs à 11 000.
Voilà mes réponses que j'ai apportée
1a)  
1ère étape 8040
2ème étape 9750
3ème étape 10177,5
4ème étape 10284,375
5ème étape 10311,0938
6ème étape 10317,7734
7ème étape 10319,4434
8ème étape 10319,8608
9ème étape 10319,9652
10ème étape 10319,9913

1b)
Nous pouvons penser que l'affirmation d'Hugo est fausse puisque nous remarquons qu'au bout de la 3ème étape, nous dépassons les 11 000.

1c)
1ère étape 8040
2ème étape 9750
3ème étape 10177,5
4ème étape 10284,375
5ème étape 10311,0938
6ème étape 10317,7734
7ème étape 10319,4434
8ème étape 10319,8608
9ème étape 10319,9652
10ème étape 10319,9913
11ème étape 10319,9978
12ème étape 10319,9995
13ème étape 10319,9999
14ème étape 10320
15ème étape 10320
16ème étape 10320
17ème étape 10320
18ème étape 10320
19ème étape 10320
20ème étape 10320
21er étape 10320
22ème étape 10320
23ème étape 10320
Le tableur nous permet d'affirmer que l'affirmation « Tu peux continuer ainsi autant de fois que tu veux, je suis sûr que tu ne dépasseras jamais 11 000 ! » est vraie seulement à partir de la 14ème étape.

2a)
un+1=(un/2 +5160)/2+5160
2bi)
Un= (u0/2+5160)/2+5160
2bii)
L'affirmation d'Hugo est vraie pour n=0 car cela vaut 1200 donc cela est bien inférieur à 11 000.
Le reste des questions me posent problème, de même j'ai des doutes pour la question 2a et 2bi

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 17:27

Bonjour,

euh ... tu penses que 10177,5 est > 11000 ??

pour la formule de récurrence une étape ce n'est pas deux étapes !!

Un+1 = Un/2 + 5160 tout court
toi tu calcules Un+2 = (Un/2+5160)/2+5160

tu devrais retomber sur tes pieds dans la suite de l'exo avec ces bases saines là
(formule qui d'ailleurs apparait plus loin dans l'énoncé)

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 17:41

La réponse que vous m'avez donné c'est pour 2a. Mais pour la question 2bi j'ai la bonne réponse?

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 17:51

bein non.
triplement
d'abord parce que la même erreur que pour la 2a
et ensuite parce que on remplace n par sa valeur numérique partout, pas seulement dans un morceau de formule
et enfin parce que ça n'a rien à voir avec ce qu'on demande

la "propriété" à démontrer est que Un < 11000
c'est tout et rien que ça qui est demandé

2bi. Traduire l'affirmation de Hugo par une relation sur un :
Un < 11000 quel que soit n, c'est tout.

la formule de récurrence Un+1 = Un/2 + 5160 n'interviendra que pour la 2biii

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 17:55

D'accord j'essaye et je vous envoie mes réponses

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 19:21

j'ai essayé de faire la question 2biii mais je n'arrive pas à faire l'héridité pourrez-vous m'aider svp ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 19:29

par hypothèse de la 2biii on a, pour un certain n, Un < 11000

donc comme on sait que Un+1 = 0,5Un + 5160

Un < 11000
===> 0,5Un < 0,5*11000
===>
etc ...
===> Un+1 < ???

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 19:32

pourquoi on ne remplace pas le un dans un+1 par <11 000

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 19:42

c'est en l'essence ce que je fais.

mais on ne peut pas écrire un "<" à l'intérieur d'une expression !
écrire (remplacer "Un" par "<11000")
Un+1 = 0,5×<11000 + 5160 ne veut strictement rien dire du tout

il faut faire une suite d'implications à partir de l'hypothèse pour aboutir à la conclusion
c'est toujours comme ça partout en maths.
d'où la façon de rédiger que j'ai indiquée.

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 19:50

donc si j'ai bien compris
0.5un<0.5*11 000
0.5un<5500
0.5un+5160<5500+5160
0.5un+5160<10 660
0.5un<10 660-5160
0.5un<5500
un<5500/0.5
un<11 000
Donc la propriété est vraie au rang n. donc elle vraie pour tout n.

Posté par
vaelis
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 19:59

Tu viens de démontrer que si un<11 000 alors ... un<11 000
Tu n'as donc absolument rien démontré.
Il faudrait que tu revois le principe de la récurrence.

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:01

je ne comprends pas du tout le principe de la récurrence. je sais juste qu'il faut faire l'initialisation ainsi que démontrer au rang n

Posté par
vaelis
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:04
Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:06

0.5un+5160<5500+5160
0.5un+5160<10 660

et c'est fini ici le calcul. tout ce que tu as écrit ensuite totalement inutile et revient à revenir au point de départ !!

parce que 0.5un+5160 c'est Un+1

tu viens donc de prouver que Un+1 < 10 660
et comme 10660 est bien < 11000, c'est terminé
on a prouvé que si Un < 11000
alors Un+1 < 11000

si la propriété est vraie au rang n, alors elle est vraie au rang n+1
("si Pn est vraie alors Pn est vraie" ne sert à rien, ne prouve rien et ne fait que tourner en rond)

or comme elle est vraie au rang 0, elle est donc vraie quel que soit n

Posté par
carpediem
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:12

salut

enfin tout un blabla et un contexte pour se poser simplement la question :

si un nombre est inférieur à 11 000, sa moitié augmentée de 5160 le reste-t-elle ?

la réponse est triviale ... puisque la somme de deux quantités inférieures à la moitié est inférieure au tout ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:31

certes, mais le but profond de cet exo est de faire des raisonnement par récurrence
pas de démontrer une propriété par ailleurs triviale ..

on n'est plus à un énoncé stupide près et il y a plein d'autres trucs plus intéressants à démontrer par récurrence que ça
on est d'accord.
mais l'énoncé est ce qu'il est et on doit y répondre par ce qui y est demandé...

Posté par
carpediem
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:34

bien sur ... et justement le pb est là : faire de l'activisme n'est pas avoir une activité intellectuelle ...

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:39

pour la question 3, on a juste à dire que comme la propriété est vraie au rang n elle est également valable si on commence à 1600 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:46

???
tu as déja démontré qu'elle est héréditaire
que SI elle est vraie au rang n
(pas une une valeur de départ, au rang n) alors elle est vraie au rang n+1

inutile de recommencer

par contre il faut vérifier l'initialisation (est elle vraie au rang 0 avec cette nouvelle valeur de départ ?)

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:49

elle est vraie au rang 0 puisque 1 600 < 11 000

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 20:53

voila, donc c'est fait.

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 21:29

pouvez-vous m'aider pour les questions 4a et 4b svp ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 21:44

4a
a. Démontrer que la suite (vn = un −10320) est géométrique. On précisera sa raison.

c'est montrer qu'il existe un nombre réel q constant (qui sera la raison) tel que Vn+1 = qVn

donc à partir de la définition Vn = Un −10320
et de la relation de récurrence définissant (Un) : Un+1 = 0.5Un + 5160 il s'agit de calculer Vn+1 en fonction de Vn
(juste des remplacements !!)


4b : ça dépendra de la réponse à la 4a bien sur...
en effet la Q4a permet de calculer Un en fonction de n directement .
et donc d'écrire et de résoudre l'inéquation en l'inconnue n : Un < 11000

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 21:50

je ne comprends pas ce que viens faire le Un+1 pour la résolution de cette question

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:01

Vn = Un −10320 par définition quel que soit n

donc Vn+1 = Un+1 −10320
il apparait là le Un+1,
à remplacer ici (que des remplacements disais-je) par la formule de Un+1 en fonction de Un
développer et simplifier et comparer le résultat avec l'expression définissant Vn
ça donne Vn+1 en fonction de Vn et le résultat attendu.

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:13

d'accord je vais essayer

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:26

A la fin je trouve Vn+1=0.5un-5160

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:28

oui. c'est à dire à 0.5(Un - 10320) n'est-ce pas ...

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:30

oui du coup c'est la réponse pour la 4a ou je dois encore faire des choses pour pouvoir y répondre ?

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:31

la raison est donc 0.5

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:34

à part terminer la rédaction, c'est bon.

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:34

c'est à dire ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:37

dire que
Vn+1 = 0.5(Un - 10320) c'est Vn+1 = 0.5Vn parce que par définition Un - 10320 c'est Vn

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:39

Ha d'accord donc pour la question 4b il faut résoudre 0.5(un-10320)<11 000

Posté par
vaness62
re : La puissance d'attraction de 10 320 02-01-18 à 22:42

non pardon c'est 0.5Vn<11 000
Mais je la résoudrais demain car là je vais me coucher. en tout cas merci beaucoup de ton aide. je te posterais ma réponse demain.



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