La quadrature de l'inverse

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La quadrature de l'inverse
Posté par 
Alishisap  24-03-19 à 22:07
Bonsoir,

petit problème que j'ai proposé à mon frère qui est en 1S, j'espère qu'il vous amusera. 

Les courbes  et  des fonctions inverse et carrée n'ont pas d'intersection sur .

En revanche, on remarque qu'il existe une translation verticale de  telle que la courbe résultante intersecte une et une seule fois  sur cet intervalle.

Trouver cette translation et donner les coordonnées du point d'intersection.
 Posté par 
lakere : La quadrature de l'inverse  24-03-19 à 22:53
Bonsoir,

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La translation: 

Le point de contact: 

 Posté par 
Zormuchere : La quadrature de l'inverse  24-03-19 à 23:38
Bonjour

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etant donné que x^2-k est convexe et 1/x est concave, leurs dérivées seront identiques au point d'intersection (et uniquement en ce point)

Il s'agit donc de résoudre x dans  

Ensuite, on trouve y :

On peut ensuite retrouver k en posant 

 Posté par 
matheuxmatoure : La quadrature de l'inverse  25-03-19 à 11:13
bonjour

dommage que je n'enseigne plus, cela m'aurait fait un exercice original en terminale !

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il suffit d'étudier la fonction 

 sur ]- ; 0[

elle admet un minimum en  qui vaut 

comme elle ne doit s'annuler qu'une fois, ce minimum doit être nul ... d'où la valeur de k

et il s'agit de la translation de vecteur 
 Posté par 
LittleFoxre : La quadrature de l'inverse  25-03-19 à 14:21

Salut, merci ce petit problème.

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Il est marrant de noter que 

si  a une seule intersection avec  dans , 

 en a une seule dans.

Avec  

 Posté par 
Alishisapre : La quadrature de l'inverse  26-03-19 à 19:33
Merci pour votre participation.

lake : c'est bien ce que je trouve aussi. 

Zormuche : je n'avais pas penser à exploiter l'égalité des dérivées (à dire vrai, je ne connaissais même pas cette propriété), bien vu.  Et on trouve bien le même k.

matheuxmatou : tout en simplicité ! 

LittleFox : oui, en effet !

Je vous propose une solution n'utilisant pas directement la dérivation :

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On veut trouver  positif tel que  càd  n'admette qu'une seule solution sur .

Donc  doit s'écrire sous la forme .

Par identification on trouve facilement ,  et finalement  d'où la translation cherchée est 

Enfin les coordonnées du point d'intersection sont 
 Posté par 
Zormuchere : La quadrature de l'inverse  26-03-19 à 20:11
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A vrai dire j'allais faire comme tout le monde et je me suis rendu compte que j'arrivais pas à résoudre l'équation : 

x^2-k-1/x = 0

c'est ce qui m'a fait essayer de chercher un autre chemin

ce n'est pas vraiment une propriété, enfin c'est assez intuitif graphiquement, mais ça se vérifie rapidement 

ça consiste à trouver k tel que 1/x-x2+k ait une unique racine

(D'ailleurs, c'est vrai parce que 1/x-x2+k -> (-infini) en 0, sinon ce serait pas tout le temps vrai)

or cette fonction est concave par somme, et ses limites aux bornes (-infini et 0) sont toutes les deux -infini. Supposons qu'elle a un unique point d'annulation

Si la dérivée au point d'annulation est strict. positive (resp. strict. negative), alors par TVI et un peu de calcul infinitésimal, on a un autre point d'annulation d'abscisse supérieure (resp. négative) à x0, on perd l'unicité

d'où le fait que la dérivée doit être nulle, donc on doit avoir l'égalité des deux dérivées
 Posté par 
Sylvieg re : La quadrature de l'inverse  26-03-19 à 20:44
Bonsoir,

J'ai suivi ce fil avec intérêt  

@Alishisap,

Tu dis que tu n'utilises pas directement la dérivation.

Mais par quel argument peut-on justifier que la racine négative est double ?
 Posté par 
dernyre : La quadrature de l'inverse  26-03-19 à 22:09
Bonsoir

Je dis comme Sylvieg, comment justifier à priori une racine double ?

Ceci dit, ce problème ne doit pas être trop difficile pour des élèves de 1S. Après un rapide croquis à main levée on voit tout de suite qu'il faut égaler les dérivées au point de contact.

Un peu dans le même esprit, mais un peu plus difficile, je proposerai prochainement un petit exercice que je m'étais posé et résolu il y a très longtemps quand j'étais au lycée.
 Posté par 
Alishisapre : La quadrature de l'inverse  27-03-19 à 11:53
Bien sûr ça n'a pas raté, vous avez relevé que je suis marchand de tapis. 

En effet il faut utiliser la dérivation pour justifier. C'est pour ça que je disais que je n'utilise pas directement la dérivation, au sens où il n'y en a pas besoin pour les calculs. 
  Posté par 
Alishisapre : La quadrature de l'inverse  27-03-19 à 11:57
derny : très franchement, comme je le disais à Zormuche, ni moi ni mon frère (pourtant excellent élève de 1S) n'avons pensé à ça, croquis sous le nez !

Parfois c'est les choses les plus évidentes qui passent sous le nez. Un grand classique.