Bonjour,
le plus court chemin entre deux points, c'est la ligne droite.
Prenons le symétrique P' de P par rapport à la rive côté maison. MP' coupe la rive en R.
Et on a MP' = MR + RP
C'est en R que Julie devra aller puiser de l'eau!
Merci pour l'énigme

Soit R un point quelconque le long de la rivière.
Soit P' le symétrique de P par rapport à la rivière.
MR+RP = MR+RP'
Minimiser MR+RP revient à minimiser MR+RP', c'est-à-dire à placer R sur le segment [MP']

Julie doit aller puiser de l'eau au point d'intersection de la rivière et de la droite joignant sa maison et le symétrique de la plante par rapport à la rivière.

Nicolas

Soit M' le point recherché.
On doit avoir (MM'+ M'P) minimal.
Or soit P' le symétrique de P par rapport à la rive ,on a M'P =M'P'
Il faut donc que (MM'+ M'P') soit minimal.
C'est le cas si M, M' et P' sont alignés.
On trace donc P' et l'intersection de MP' avec la rive est le point M' cherché.

Voir dessin joint.

probleme impossible

En supposant le bord de la rivière rectiligne,
Soit M' le symétrique (orthogonal) de M par rapport au bord de la rivière
et soit E le point d'intersection de (M'P) et du bord de la rivière.
Le trajet le plus court est obtenu en puisant l'eau en E.

Le point E peut être obtenu aussi avec (P'M) au lieu de (M'P), P' étant le symétrique (orthogonal) de P par rapport au bord de la rivière

Bonjour...

Bonche, sans filet ni parachute

soit d la distance de M à la rivière, D la distance de P à la rivière, L le chemin emprunté entre la rivière et la plante et l celui entre la maison et la plante.
Soit R la longueur entre les projections orhto de M et P sur la rivière

Nous avons deux triangles rectangles avec donc:

L²=D²+(R-x)²
l²=d²+x² donc

Nous cherchons à minimiser L²+l² (enfin L+l mais cela revient au même puisque L et l sont positifs )

2x² -2Rx + (D²+d²+R²)

Bon, petit calcul de dérivée (houla, sais je encore le faire?)

4x-2R
pour x=R/2 nous avons un palier, si x<R/2 la dérivée est négative et notre fonction décroissante, si x>R/2 la dérivée est positive et notre fonction croissante, x=R/2 est donc le minimum de notre fonction...Soit le plus court chemin passe par le milieu entre le projections ortho de M et P...

Note1: Hum, doit y avoir un bug, si M est sur la rivière le passage par le point médian me parait douteux pour le moins...Alors faisons un petit test dans ce cas:

d=0
x=R/2
L²+l²=D²+R²/4+R²/4=D²+R²/2

ou bien si (intuitivement) d=0 et x=0 (elle prend l'eau directement à la maison)
L²+l²=D²+R²+0>D²+R²/2 trouvé précédemment...tiens ça marche aussi, rigolo ça

Alors ma réponse définitive est que x (distance entre la projection orthogonale de la maison et le point de prise d'eau) doit être égal à la moitié de la distance entre les projections orthogonales de M et de P sur la rivière...

Il suffit de considérer le point Q symétrique de P par rapport à la berge de la rivière. Si N est le point où Julie puise l'eau, comme NP=NQ donc MN+NP=MN+NQ le trajet sera minimal si N est aligné avec MQ: c'est donc l'intersection de MQ et de la rive.
Merci pour l'énigme

Bonjour

Je pense que (cf dessin) le point N est situé tel que l'angle formé entre MN et la normale à la rivière passant par N d'une part et NP et la même normale à la rivière d'autre part sont égaux !

(c'est en tout cas le chemin qu'emprunterait un rayon lumineux pour aller du point M au point P en se réfléchissant sur un miroir plan (bord de la rivière) et je fais entièrement confiance à la lumière en matière d'extremum de chemin optique (principe de Fermat je crois) Ce n'est visiblement pas un maximum, dons ce doit etre un minimum)

Julie doit faire comme ça :

* elle prend le point symétrique de la plante par rapport à la rive de la rivière
* elle joint ce point à la maison par une droite qui coupe la rive au point où elle doit puiser de l'eau.

Je pars du principe que la ligne droite est le plus court chemin (en distance) d'un point à un autre et que Julie peut traverser la rivière.

( Mon dessin n'est pas très juste, mais bon, c'est pour illustrer )

je pense que c'est impossible.

J'imagine que la ligne de rive est une droite.
si tel est le cas, il faut imaginer le symmétrique P' de P par rapport à cette droite imaginaire representant la rive.
Il suffira ensuite de tracer la droite imaginaire qui va de M à P'.
Le point d'intersection de cette droite imaginaire avec la rive sera le point où Julie doit puiser l'eau pour que son trajet total : "Maison -> rivière -> plante" soit le plus court possible

Merci

Je trace par M une perpendiculaire à la rivière et j'appelle M' son intersection avec la rivière. J'appelle m la distance MM'.
Pareil avec P, j'appelle p la distance PP'. J'appelle d la distance M'P'.

Je peux mesurer les valeurs m, p et d.
J'appelle x la distance entre le point M' et l'endroit où on prend l'eau, que j'appelle O. Pour que le trajet soit minimum, il faut que l'angle MOM' = l'angle POP'. Donc les triangles MOM' et POP' sont isométriques.

Donc je peux calculer x en fonction des valeurs que je peux mesurer.

m/p = x/(d-x)
m(d-x) = px
md - mx = px
md = x(m+p)
x = md/(m+p)

Y a plus qu'à calculer x.

En pratique, on tire des perpendiculaires passant par M et P à la rivière, et on mesure les valeurs m, p et d. Puis on calcule x qui sera la distance entre M" et l'endroit où on prend l'eau. Si j'y arrive, je vous poste le schéma.

voilà la figure

D'abord déterminons les distances, la distance la plus courte( donc a angle droit) entre la riviere et la maison est Y et celle la riviere et la plante est Z (aussi la ligne a angle droite a partir de la riviere passant par le point P).
Dernièrement, la distance entre les 2 points sur la riviere (c'Est-a-dire les points ou le trajet a la maison est le plus court vers la riviere et de meme pour la plante et la riviere) sont séparé d'une distance X.

Nous cherchons un point situé à une distance K du point ou la maison croise la riviere, donc à une distance X - K de la plante et la riviere.

Nous pouvons tracer 2 triangles rectangles avec comme base la riviere comme coté la ligne représentant la distance la plus courte de la maison à la riviere ou de la plante a la riviere et l'hypothénuse partant du point situé à K vers la maison ou la plante.

le trajet le plus court est le parcours des 2 hypothénuses de ces triangles.

Pour découvrir l'emplacement exact nous devons donc résoudre ce problème :
calculer la longueur des hypothénuses grace aux données que nous avons

Hyp du triangle ayant la maison est : Y² + K²
Hyp du triangle ayant la plante est : Z² + (X - K)²

donc la distance a parcourir est Y² + Z² + K² + (X - K)² ou de maniere étendu :
Y² + Z² + 2K² + X² - 2KX

Nous recherchons à minimiser ces équations, donc effectuons la dérivé en K

4K -2X et le seul sommet de l'équation est lorsque K = X/2, donc que la distance séparant les permpendiculaires est divisé en 2 parties égales

Dernièrement assurons nous que ce point est effectivement un minimum et non un maximum, en vérifiant les environs, ce que je ne démontrerais pas, mais est effectivement vrai.

Donc, le point est situé à la moitié de la distance séprant les points sur la rivières des perpendiculaires à la maison et à al plante.

Voilà c'était plutôt facile

Salut a tous,

Il me semble que pour emprunter le chemin le plus court Julie doit :

Dabord determiner la perpendiculaire a la riviere passant par sa maison. Le point sur la rive obtenu est M2.

Ensuite tracer la parallele a cette droite passant par P. (perpendiculaire a la berge de la riviere) c P2

Ensuite determiner la moitie de la distance M2 P2.

Je pense ke ce point est le point de la rive correspondant a la plus courte distance finale

A plus

Salut,

Je tente l'image, mais pour plus de surete:

En appelant P' le point symetrique de P par rapport a la berge de la riviere, on voit que le chemin (M --> X --> P), ou X est un point de la berge, est egale a la distance (M --> X --> P'). Or cette derniere distance est minimale lorsque l'on parcourt le segment [MP'] (merci l'inegalite triangulaire).

Au final, le point O de la berge qui minimise le trajet est l'intersection du segment [MP'] avec la berge.


Une belle application de la loi des sinus en optique, en fait...

Merci J-P
A+
biondo

minimale
est le point de la rive situé sur la direction dans laquelle julie verrait (de sa maison) le symétrique orthogonal de sa plante (par rapport à la rive)

bonjour,
un grand classique pour les élèves de 2ème (Belgique).

bonjour,

ayant des difficultes à tracer des perpendiculaires sur le dessin, je vais devoir ecrire un roman (qui sera donc moins comprehensif qu'un joli dessin)

Deja Julie ira puiser de l'eau a la berge de la riviere, il reste donc à trouver ou

Soit P' l'image de P par le réflexion d'axe la berge la plus proche de la maison de Julie

On trace le segment [MP']

l'intersection du segment [MP'] et la berge la plus proche donnera le point ou JUlie doit chercher de l'eau.

merci pour l'egnime

L'endroit cherché est E.
P' est le symétrique de P par rapport au bord de la rivière situé du côté de la maison.

l'endroit et juste a la verticale de a riviere
on trace une verticale passant par le point P pour trouver cet endroit

Salut,
Probleme impossible.
juste histoire de faire un record de nombre de
@+

il faut que le triangle formé par les points M, P et point d'eau soit rectangle en M.

Le plus court chemin est tel que l'angle d'arrivée à la rivière par rapport à la perpendiculaire à la rivière est égal à l'angle de départ de la rivière toujours par rapport à la rivière.
C'est le principe du reflet sur un miroir ou des boules de billards qui rebondissent sur les côtés de la table de billard.

Enigme clôturée.

Pour bornéo:
Dans ta solution, les triangles MOM' et POP' ne sont pas isométriques mais bien semblabes (ou de même forme).

Ben voilà, on veut faire jeune et on n'y arrive pas !!! Moi, je croyais qu'isométrique était la manière moderne de dire "semblable", comme "groupe nominal sujet" veut dire "sujet". C'est clair que les triangles sont semblables et pas égaux, sinon ce serait bien plus facile à calculer.

J'ai appris quelquechose aujourd'hui, merci.

Ben oui, j'ai passé mon bac C en 1973, alors le vocabulaire a un peu changé...

Les racines grecques n'ont pas changé, et isométrique veut toujours dire de même mesure!
(bac mathélem en 66!)

Ah là là, d'année en année, les jeunes en savent de moins en moins... comme quoi le bac C était loin de valoir le bac mathélèm

En tout cas, ça me rassure de voir qu'il y a d'autres ancêtres sur ce forum

borneo : ancêtre toi-même !

rene38, bac+44 (i.e. bac math-elem 1961)

Aaaaaaaargh!!!