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La serpentine
"Le but de ce problème est d'étudier qq propriétés de la courbe représentative I' de la fonction f: x-->x-sin x
1- Etudier la parité de f. Que peut on en déduire pour I' ?
2- Comparer f(x+2 
) et f(x). En déduire que I' est invarainte par une famille de translations dont on précisera les vecteurs.
3- Etudiez le sens de f.
4-a- Montrer que pout tout x : x-1 
f(x) x+1
En déduire la position de I' par rapport aux droites D et D' d'équations respectives y=x+1 et y=x-1.
b- Déterminer les coordonnées des points d'intersection de I' et D, puis de I' et D'.
c- Montrer que les droites D et D' sont en tangentes à I' en ces points d'intersection.
5- Déterminer les coordonnées des poits où I' admet une tangente horizontale.
6-a- Déterminer une équation de tangente T à I' au point d'abscisse
b- On pose A(x)=f(x)-(2x- )
Etudier le sens de variation de A sur 
. En déduire le signe de A(x) en fonction de x.
c- Quelles sont les positions respectives de I' et T?"
Si vous pouvez m'aider merci
Bonsoir,
1- f est la différence de deux fonctions impaires. Elle est donc impaire.
f(-x)=-f(x)
I' est donc symétrique par rapport à l'origine O.
2- f(x+2pi)=x+2pi-sin(x+2pi)=f(x)+2pi. I' est donc invariant par
les translations de vecteurs 2pi i + 2pi j
3) f'(x)=1-cos x > 0 car cos x <= 1. Donc f est strictement croissante.
4-a- Pout tout x :
On a : -1 <= sin x <= 1
donc -1 <= -sin x <= 1
Donc -1+x < f(x) < 1+x
I' est donc située entre les droites D et D' d'équations
respectives y=x+1 et y=x-1.
b- x - sin x = x - 1 donc sin x = 1 donc x = pi/2 +2kpi
x-sin x = x + 1 donc sin x = - 1 donc x = -pi/2 + 2k pi.
c- En ces points f'(pi/2+2kpi)=1 donc la tangente a le même
coefficient de directeur que D'. Donc D' est la tangente.
De même pour D.
A suivre...
(...suite)
5- Les abscisses des points où I' admet une tangente
horizontale vérifient f'(x)=0 donc cos(x)=1 donc x=2 kpi.
Les points ont donc comme coordonnées (2kpi;2kpi)
car f(2kpi)=2kpi-0
6-a- Une équation de tangente T à I' au point d'abscisse pi
:
y=f'(pi)(x-pi)+f(pi)
y=2(x-pi)+pi
y=2x-pi
b- On pose A(x)=f(x)-(2x-pi)
A(x)=-x-sin(x)+pi
A'(x)=-1-cos(x) < 0
Donc A est strictement décroissante.
A(pi)=0
Donc A(x) < 0 si x > pi et A(x) > 0 si x < pi.
c- I' est donc au dessus de T si x < pi et en dessous de
T si x > pi.
Ouf... 
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