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La somme des z^l est egale au produit de z-w^k

Posté par
Rexe 01-11-20 à 09:33

Bonjour , s'il vous plait un aide
Soient n , n2 et w = exp(2i/n)
Etablir que pour tout z , z1
\prod_{k=1 }^{n-1}{(z-w^{k})} = \sum_{l=0}^{n-1}{z^{l}}

Posté par
malou Webmasterre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 09:35

Bonjour Rexe
qu'as-tu fait pour le moment, comment as-tu cherché ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q01 - Que dois-je faire avant de poster une question ?



dis le, ensuite quelqu'un pourra te venir en aide

Posté par
carpediemre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 10:04

salut

fort probablement aucune idée de ce qu'il faut ou on peut faire ...

alors une petite aide : que reconnais-tu dans le membre de droite de l'égalité ?

maintenant tut peux certainement avancer !!!

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 10:41

Bon j'ai certainement essayé de le résoudre avant de le poster ,  j'ai essayer avec récurrence mais j'ai pas trouvé un pas  , en tous cas pour carpediem on remarque que c'est une somme d'une suite géométrique
on peut écrire


\frac{1-z^{n}{}}{1-z} = \frac{w^n - z^n}{1-z}

Je crois on peut commencer par sa mais je crois une autre indication
sera mieux

Posté par
carpediemre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 11:57

tu peux écrire ce que tu veux mais bon ...

ce qu'on peut écrire : \sum_0^{n - 1} z^n = \frac {z^n - 1} {z - 1}  (car z <> 1)

ne sais-tu pas alors résoudre l'équation z^n - 1 = 0  ?

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 12:49

ce n'est qu'une suggestion ce que j'ai écrit , alors pour l'équation  que tu as donné on a
z = w^k mais la somme est différente de 0 comment utilisant donc cette propriété?

Posté par
carpediemre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 13:01

je ne comprends pas la deuxième phrase ...

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 13:11

j'ai pas compris comment on peut utiliser l'équation z^n-1 = 0 pour résoudre le problème , comme la somme est différent de 0 .

Posté par
carpediemre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 13:32

je te demande simplement de résoudre cette équation !!! (si tu sais)

et quand tu auras les solutions de réfléchir et faire le lien avec le membre de droite ...

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 13:42

je t'ai dit que z= w^k   , bon la seule idée que j'ai c'est de remplacer 1 par (w^k )^n on peut donc développer :

\frac{z^n-w^n}{z-1} = \frac{(z-w)(z^{n-1} +wz^{n-2} + ... + w^{n-1})}{z-1}

Cet méthode est convenable  ?

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 13:43

car on commence à  faire apparaitre les termes du produits

Posté par
Razesre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 15:01

Bonjour,

C'est quoi pour toi:  \omega=e^{i\frac{2\pi }{n}} ?

Et c'est quoi:  \omega^k=\hdots ?

Posté par
lafol Moderateurre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 15:36

Bonjour
on n'apprend plus en première des lycées que si a est racine d'un polynôme en x, alors on peut mettre x-a en facteur dans ce polynôme ?

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 15:43

C'est e^{\frac{2Ik\pi }{n}}
Pour Lafol j'ai utiliser la règle z^n -a^n = (z-a)(z^n-1 + ....+ a^n-1) je crois qu'on peut l'utiliser

Posté par
Razesre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:00

Oui, tu peux compléter dans \mathbb{R}; x^n-1=(x-1)(\hdots)

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:05

(x^n-1 + x ^n-2 + ... +1 )

Posté par
Razesre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:13

Et c'est quoi les:  \omega_k= e^{\frac{2Ik\pi }{n}} ?

Donc: \dfrac{x^n-1}{x-1}=(\hdots)

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:33

pardon Razes j'ai pas pu trouver le pas suivant , j'ai  deux idées mais rien est utile , j'ai  remplacé ce 1 par la somme les w^k pour avoir z^k - w^k
k varie de 0 jusqu'au n-1 mais je suis bloqué

Posté par
carpediemre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:34

quelles sont les racines du polynome x^n - 1  ?

quelle est alors la factorisation du polynome x^n - 1  ?

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:45

bon ok ok j'ai totalement oublié cet règle , j'ai toujours utiliser cette dernière dans un polynôme d'inconnue z mais pour z connue j'ai pas l'habitude , pardon  j'ai maintenant compris .
Merci beaucoup .  

Posté par
Razesre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:49

Tu nous montreras quand mème ce que tus obtenu?

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:54

Surement , on a :

z^n-1 = (z-w)(z-w^2)...(z-1)

il nous reste que simplifier par z-1 est on trouvera le produit


\prod_{i=1}^{n-1}{(z-w^i)}

Posté par
carpediemre : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:56

ok ... mais ce qui importe c'est le dernier facteur avant le facteur (z - 1) ...

Posté par
Rexere : La somme des z^l est egale au produit de z-w^k 01-11-20 à 16:57

c'est (z-w^n-1)


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