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La Terre encordée.***

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
09-02-05 à 11:55

La Terre étant supposé être une sphère parfaite de 6370 km de rayon.
On entoure la Terre par une corde en contact parfait avec l'équateur. (La corde boucle juste le tour).

On allonge alors cette corde de 1 mètre exactement.

La corde est supposée inextensible et d'épaisseur négligeable.

On saisit la corde en 1 point P et on éloigne ce point de la surface de la Terre mais en maintenant la corde dans le plan de l'équateur.

A quelle altitude h maximum, P se trouvera-t-il ? (donc lorsque la corde sera tendue).
-----
Bonne chance à tous  

Clôture de l'énigme Samedi.



La Terre encordée.

Posté par rachmaninof (invité)re : La Terre encordée.*** 09-02-05 à 13:08

perduavec un peu de trgonométrie et la linéarisation d'un sinus
je trouve que h vaut à peu prés 9.2754 km

Posté par
isisstruiss
re : La Terre encordée.*** 09-02-05 à 13:47

gagnéJe mets pour commencer le rayon en mètres:
r=6,37\cdot10^{6} m

Puis j'exprime la longueur de la corde des deux façons explicitées par la donnée:
2\pi r+1=2\pi r-2\beta r+2b\qquad\Rightarrow\qquad 1=2b-2\beta r

Comme OAP est rectangle en A, on a b=r\tan(\beta). Je remplace ceci dans l'équation précédente pour obtenir
1=2r\tan(\beta)-2\beta r. J'obtiens \beta\approx0.0061752.

Encore par le triangle rectangle OAP on a (r+h)\cos(\beta)=r\qquad\Rightarrow\qquad h=\frac{r}{\cos(\beta)}-r.
En remplaçant dans cette équation la valeur de \beta trouvée plus haut on a h\approx121.45m.

Isis

La Terre encordée.

Posté par PolytechMars (invité)L essentiel est de participer..Merci Pierre de Coubertin..Miaouw 09-02-05 à 16:55

perduBonjour,
Donc ma reponse est : 92,69 metres environ !!!

Extraordinaire, non??

Miaouw
L essentiel est de participer..Merci Pierre de Coubertin..Miaouw

Posté par Stan (invité)OLA !!! 09-02-05 à 17:58

La reponse et 38 cm ( que du pif )

Posté par lolux (invité)re : La Terre encordée.*** 09-02-05 à 20:29

perduMa réponse est(meme s'il y a une tres forte probabilite que cela soit faux, pourtant tout mes calcul disent le contraire):

            19.97m

                    

Je veux un smiley, je le veux!!

             

Posté par gilbert (invité)re : La Terre encordée.*** 09-02-05 à 21:02

gagnéSoit a le demi angle au centre avce les deux points de tangence.
tg (a) = a + (1/2R)
soit a = 6,175 * 10-3 rd

h = R[( 1/cos (a) - 1] (R/2) * a2.
h = 6,37/2 * 106*(6,175)2* 10-6= 121,4 m

h = 121,4 m.
Ca me semble plutôt haut pour un petit mètre de rab !!!

Posté par
Nofutur2
re : La Terre encordée.*** 09-02-05 à 21:49

gagnéJ'ai bien peur d'être arrivé à une aberration , mais je me lance .
est l'angle au centre (un des deux points de tangence-point de hauteur maxi)
tang () = (*R +1/2)/R, car le mètre supplémentaire se répartit également des deux côtés.
ce qui permet de trouver = 0,00617 radians.

Comme cet angle est proche de zéro , je peux lui appliquer les développements limités.
cos1 - (2/2).
Or cos= R/ (R+h).

J'en déduis que h121,44 m.

Posté par instinct (invité)re : La Terre encordée.*** 10-02-05 à 06:09

gagné\textrm{Je trouve que l'angle au centre joignant les points de tangence est egal a 2\times 6,17\times 10^{-3}. \\Ce qui donne des points de tangente eloignes de 80 km !!!.\\ h=R\times(\frac{1}{cos \alpha} -1)\approx R\times(\frac{\alpha^2}{2})}\\

\textrm {h=121,45 m}

Posté par philoux (invité)re : La Terre encordée.*** 10-02-05 à 09:19

perduBonjour,

Réponse : h 12,15 m
Ca semble bizarre qu'un mètre ajouté engendre 12,15 m d'élévation, mais pourtant ...

Méthode employée :
Notations :
O le centre de la terre,
R le rayon de la terre,
A et B les points de l'équateur où la corde quitte la terre,
P le point le plus éloigné de la terre,
x l’angle OP,OA,
B, intersection de OP avec le cercle,
et h et la distance BP cherchée.

La longueur de l’arc ABC vaut 2.x.R.
Dans le triangle AOP, AP=R.tg(x)
La condition à remplir est : 2AP=arcABC + 1
2.R.tg(x) = 2.x.R + 1
tg(x) – x – 1/(2.R) = 0

En écrivant x = arctg(x + 1/(2.R)), à la simple machine à calculer, on trouve (ça ne converge pas vite)
x 0,0617 rd

Dans le triangle AOP, on a cos(x)=R/(R+h)
d’où h = R(-1+1/cos(x))
h 12,15 m

Merci pour l'énigme

Philoux

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)re : La Terre encordée.*** 10-02-05 à 10:53

perduEn appliquant le thoreme de pythagorre ton trouve l'equation suivante :

(R+h)2 = R2 + (a/2)2   ou a est l'alongement de la corde
                               et R le rayon de la terre (en m)

solution : h = -R + 0.5*(4R2+a2)1/2

AN : h 1,9623233908948164437105443368313 * 10-8 m

Posté par philoux (invité)re : La Terre encordée.*** 10-02-05 à 12:16

perduBonjour,

En triturant le problème de J-P, je ne sais pas si j’ai fait une erreur, mais j’arrive à la formulation suivante :

Soit une sphère de rayon R, si on augmente la corde de 37,6216 %, l’élévation h du point P sera égale à la distance de corde rajoutée ! Étonnant, non ?

Dans le cas du pb de J-P, si la corde augmente de 2 396,5 m alors le point P se trouve alors à 2 396,5 m de la terre !

Cette indépendance de R est étonnante, qu’en pensez-vous ? Me serais-je trompé ?

Sous forme imagée, ça peut être une énigme comme l'image jointe.

Le but est de parvenir à retrouver le 37,6216355...

A+

Philoux


La Terre encordée.

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)re : La Terre encordée.*** 10-02-05 à 12:52

perduErf je viens de me rendre compte que j'avais commis
une erreur dans mon raisonnement ...
J'ai voulu repondre trop vite Donc je reposte pour le plaisir

j'ai consideré dans mon raisonnement que a etait egal a 1
alorsqu'il est egal a *R+1 (avec le demi angle au centre)

On en arrive donc a resoudre l'equation
(R+h)² = R² + R + 1

On trouve h 2.18 * 10^-4 m
Soit 0.218 mm

Posté par
borneo
re : La Terre encordée.*** 10-02-05 à 16:03

gagné121,46 mètres
je n'ose pas le croire, tant ça parait invraisemblable...

Posté par papou_28 (invité)réponse au challenge 11-02-05 à 13:32

gagné

p désqigne le nombre pi
Soit O le centre de la terre.
Soient A et B les deux points tel la corde soit tangent  
au cercle en A et B. Soit AP = c.
Ainsi OA = R = 6370 km = 6 370 000 m
On sait par hypothèses que : (OA) et  (AP) sont perpendiculaires.
OA = OB et AP = PB et (OB ) et (BP) sont perpendiculaires.

Soit â = angle de AOP
sont d
on considère les inconnus â et c.
Comme la longueur de la corde est 2pR + 1

â et c vérifient l'équation :
2c + 2pR - 2âR = 2pR + 1
quand on simplifie cette équation, on obtient :
c - âR = ½ ou c= ½ + âR  Equation (1)

De plus â et c vérifie une autre équation plus simple :
Tan â = c/R Equation (2)
Remplaçons c de l'équation (2) par l'expression de l'équation (1)
Tan â = (1/2 + âR)/R = 1/(2R) + â
Autrement dit â vérifie l'équation :

Tan â - â = 1/(2R)
Cette équation n'est pas une mince affaire …. J'ai utilisé un tableur pour trouver la solution â.
Et j'ai trouvé â = 0,006175162645 un arrondi à 10-12 près
Tan â = 0,0061752411379356
Ainsi on peut maintenant calculer h :
h = R / cos â - R = 121,454368048347 m arrondi à 10-12 près soit à peu près 121 m (ça me parait beaucoup)






Posté par paltan (invité)re : La Terre encordée.*** 11-02-05 à 20:50

gagnéEn gros, un peu moins de 122m.

Posté par paltan (invité)re : La Terre encordée.*** 11-02-05 à 20:51

gagnéEn gros, environ 121m

Posté par
manpower
re : La Terre encordée.*** 11-02-05 à 23:07

gagnéJe capitule... 2 jours à chercher une solution exacte mais je n'arrive pas à aboutir (est-ce possible? encore une chèvre?)...
Je livre donc une version via des valeurs approchées.
Soit  R = \rm 6370~\times~10^3 m et \rm a = \rm \widehat{OAC} en radians.

Dans le triangle rectangle OCP (car (CP) est tangente au grand cercle de l'équateur), on a d'après le théorème de Pythagore:
OP^2 = OC^2 + CP^2  d'où l'on tire  OP = \rm R\sqrt{1+tg^2a}
Soit h = \green \rm R(\sqrt{1+tg^2a}~-~1) = \green \rm R(\frac{1}{cos~~a}~-~1)

Par ailleurs, dans le même triangle rectangle OCP, on a \rm tg~a~=~\frac{Ra~+~0,5}{R}   (les 1 m de corde étant répartit de façon symétrique)
donc \rm a vérifie \green \rm tg~a~-~a~=~\frac{1}{2R} et c'est ici que ça coince pour moi...

De l'équation \rm tg~a~-~a~=~\frac{1}{2R}, je déduis une valeur approchée de \rm a : \green \rm a~\approx~~6,175162645\times 10^{-3}~~rad.
En injectant cette valeur dans l'expression de h, fonction de \rm a, il vient: 3$ \red \rm h~\approx~~121,4543681~~m.

N.B: Pour 1m de corde ajoutée, on peut écarter la corde à plus de 121m... c'est plutôt surprenant même si elle se décolle de la terre sur plus de 78km

La Terre encordée.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : La Terre encordée.*** 12-02-05 à 11:17

Enigme clôturée, la réponse était  h \simeq 121,45\ m, comme ne n'avais pas précisé à combien près je demandais la réponse, toutes réponses entre 121 et 122 m ont été acceptées.

Ma démonstration étant conforme à celle d'isisstruiss, cela me dispense de l'écrire.
Merci Isis

Je trouvais cette énigme intéressante surtout par son résultat, je dis souvent qu'avant de commencer le premier calcul pour résoudre un problème, on devrait avoir une bonne notion de l'ordre de grandeur de la réponse à trouver.
Mais dans ce cas-ci, je tire mon chapeau si quelqu'un avait "senti" l'ordre de grandeur de la solution avant calculs.



-----

Pour répondre aux questions de Philoux. (qui s'est trompé d'une décimale dans le calcul d'un angle et donc a une mauvaise solution).

Il n'est pas étonnant que pour un rapport donné Allongement de la corde / R, on ait toujours le même rapport entre altitude de P/R quel que soit R.
C'est juste un problème d'échelle.

Si on veut avoir Allongement de la corde (L) = h, en repartant des notations d'Isis, il vient directement:

L = 2R.tan(b) - 2bR
h = R/cos(b) - R

L = h -> 2R.tan(b) - 2bR =  R/cos(b) - R
2.tan(b) - 2b =  1/cos(b) - 1

Cette équation donne: b = 0,75739... radian.

Soit h/R = (1/cos(0,75739)) - 1 = 0,37621...

Et voila.
-----
Remarque que dans le cas où R = 6370 km, on aurait cela pour un allongement de la corde de 2396 km et pas 2396 m.
-----
A bientôt pour de futures énigme.  


Posté par
borneo
re : La Terre encordée.*** 12-02-05 à 12:51

gagnéJe n'en reviens pas que j'aie trouvé... j'ai galéré trois jours là dessus, j'ai noirci une dizaine de pages, pour me rendre compte que les équations avec des cosinus, je ne savais pas faire, et que les mémobac de ma fille (en prépa à Paris, impossible de l'embêter avec ça...) ne pouvaient pas m'aider. Sachant que malgré un bac C en 1973.. j'ai actuellement un bon niveau de seconde (dû uniquement au suivi scolaire de mon garnement de fils), j'ai dû trouver une autre méthode.
J'ai tout mis en équations, et j'ai fait comme si le piquet mesurait 1 mètre. J'ai donc trouvé un allongement de corde. Ce n'était pas assez, de loin pas. J'ai donc mis mes calculs sur une feuille excel, et j'ai fait varier la corde jusqu'à ce qu'on arrive au fameux mètre (ou plutôt 50 cm pour un angle alpha me donnant la moitié de l'arc où la corde ne touche pas terre) et j'ai trouvé la bonne réponse.
Franchement, si ça n'avait pas été ça, j'en aurais fait une maladie...
Du coup, je rattrape l'énigme (bien plus simple) où j'ai fait une erreur d'énoncé.
Merci à l'auteur de l'énigme, elle était vraiment passionnante. Si quelqu'un peut m'expliquer la méthode non expérimentale...

Posté par philoux (invité)re : La Terre encordée.*** 12-02-05 à 17:29

perduD'accord pour l'explication du rapport Allongement/R; effectivement, le résultat semble déconcertant.

Comme quoi, le passage aux valeurs numériques transforme un smiley en poisson : je m'étonnais déjà de 12 m, de là à avoir 121 m...!

Merci encore pour cette énigme très intéressante.

Philoux

Posté par
davidk
re 12-02-05 à 22:04

J'avais pensé à une hauteur démesurément grande par rapport à 1 mètre de rallonge mais quand même pas à ce point là.(je n'avais pas trouvé la réponse mathématiques)
Vu la forme curviligne de la Terre, c'est toutes ces petites distances perdues au fur et à mesure de la circonférence par rapport à une distance linéaire qui engendrent ces 120 mètres je pense.
N'oublions pas que le périmètre de la Terre vaut à l'équateur plus de 40000000 mètres.
Enfin, le résultat ne me choque pas mais cela est difficilement explicable avec des mots.

Posté par lolux (invité)re : La Terre encordée.*** 13-02-05 à 09:38

perdugrand dommage a Philoux , j'ai l'impression que tu as fait une errer de ppuissance de dix!!!:(

Posté par philoux (invité)re : La Terre encordée.*** 13-02-05 à 15:08

perduBonjour,

Merci lolux.
Effectivement, je me suis plus intéressé à la résolution mathématique et n'ai pas fait plus attention que celà lorsque je suis passé aux valeurs numériques; ce qui est d'autant plus étonnant, c'est qu'en aillant pris R = 6370 m (soit 1 000 fois moins), je trouve h = 12,15 m (soit 10 fois moins) : ça sent le développement limité, pente égale à 100.
Par ailleurs, j'ai enchainé sur l'histoire du 37,62 % avec indépendance de R qui m'a aussi bien étonné et dont J-P m'a donné l'explication.

L'important étant de participer et de se faire plaisir : je suis satisfait.
J'en profite pour remercier les animateurs de ce site qui font un sacré boulot ! Bravo.

Philoux

Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : La Terre encordée.*** 14-02-06 à 13:44

Bonjour,

Un an plus tard voici ma reponse, sur proposition de Philoux et Borneo


Ca y est je pense avoir trouve et je promets que je n'ai pas triche. Ma solution ne me satisfait pas entierement du point de vue geometrique car j'ai du trouver la valeur d'un angle en utilisant la calculatrice.

Enfin voila.

J'appelle C le centre de la Terre. La corde etant tendue, elle est tangente a la Terre en 2 points que j'appelle A et B. Elle forme alors un triangle isocele dont le sommet sera O. R est le rayon de la Terre donc (6 371 000 metres). J'appelle x la mesure de l'angle ACO et aussi BCO.

La distance cherchee (d) vaut alors OC - R.

AOC etant rectangle, on a OC = R/cosx

Il ne reste plus qu'a determiner x en utilisant la donnee de 1 metre de l'enonce.

Dans AOC on obtient facilement AO = Rtanx et on a donc aussi BO = Rtanx.

La longueur de l'arc de cercle qui n'est pas en contact avec la Terre est R*2x puisqu'il s'agit de l'angle ACB.

C'est ici qu'intervient le surplus de 1 metre, la corde etant colle sur le reste de la Terre.

On a donc l'egalite suivante :

2Rtanx = 1 + 2Rx

C'est ici que j'ai eu besoin de la calculatrice pour trouver x.

Elle donne : x = 0,00617516263091 radian   assez petit donc !

On peut alors rentrer ca dans d = R/cosx - R pour avoir la distance demandee.

Mais on peut aussi avoir la valeur exacte de d (en fonction de x) en utilisant la relation 1/cos2x = 1 + tan2x

En effet on a tanx = x + 1/(2R) ce qui donne tan2x = x2+1/(4R2)+ x/R

Cela donne alors la formule suivante :


d = R*[(1 + x2+1/(4R2)+ x/R) - 1]

Ce qui me donne d 121,47343602 metres.

PS: je vois qu'ici le rayon vaut 6370 km et non pas 6371 km donc le resultat est legerement different a savoir 121,4543694.

Posté par oma06 (invité)terre tourne 24-03-06 à 22:13

il faut faire attention ,elle tourne !!!!!!
prendre on concideration le mouvement de rotation de la
terre.

Posté par
inzy
re : La Terre encordée.*** 30-03-06 à 22:28

slt a tous

bon bein on sait que la terre elle fait 6370 km de rayon d'où 12740 km de périmêtre
donc la corde fait 12740+1 km
la corde est en contacte avec la terre jusqu'a la moitier de son perimêtre d'où la longueur de corde qui constitu la point du triangle isocèle est égale a (12740+1)-(6370)
soit 6370+1 la triangle étant isocèle un coté (n'étant pas la base) a pour longueur (6370+1)/2

donc dans le triangle réctangle qui a pour coté perpendiculaire h' et le rayon de la terre on aplique pythagore
((6370+1)/2)²=6370²+h²
h'=(((6370+1)/2)²-6370²)
h'59552593.9

à ça il faut enlever le rayon de ta terre soit
h=h'-6370
h1347.03

Posté par
inzy
re : La Terre encordée.*** 30-03-06 à 22:31

j'ai compris mon erreur ça va pas au mileu de la terre la corde reste tangente à la terre plus langtemp entre guillemet

Posté par
borneo
re : La Terre encordée.*** 04-08-08 à 23:15

gagnéAllez, je la fais remonter  


J'avais eu un   

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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