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La trigonométrie Formule de duplication du cosinus
Bonjour quelqu?un peux m?aider svp ça fait une semaine j?essaye j?y arrive pas et cet exercice c?est pour lundi donc SVP aidez-moi, SVP : Formule de duplication pour le cosinus
Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB], avec AB=2. C est un point du cercle distinct A et B. On note alpha l?angle BAC et bêta l?angle OCB, avec alpha appartenant à l?intervalle ]0; pi/ 4[.
1.a. Montrer que BOC =2alpha.
b. Calculer bêta en fonction de alpha. En déduire que l?angle ACB est droit.
2. Soit H le projeté orthogonal de C sur [AB].
a. Montrer que cos alpha =AH/AC=AC/AB.
b.Montrer que AH =1+cos(2alpha).
C. Exprimer cos(2alpha) en fonction de cos(alpha).
d. En déduire que: cos (alpha)= racine carré 1+cos(2alpha)/2.
3. Application de cette formule : calculer la valeur exacte de cos(pi/8) et de cos(pi/12).
(Image de la figure)
**image tournée et recadrée**rafraîchir la page **
et si tu prenais les questions une à une ?
les réponses font parfois appel à des notions du collège, que tu dois avoir en tête.
q1) montrer que BOC = 2alpha.
en 3ème, tu as vu les angles inscrits et les angles au centre qui interceptent le même arc..
CAB intercepte quel arc ? et COB ?
H n'est pas sur le cercle, CH n'est pas un arc de cercle.
Passe un crayon le long du cercle,
CAB intercepte l'arc CB,
COB intercepte l'arc CB aussi
donc ??
Haz675, il faut que tu te concentres un peu, stp.
q1) montrer que BOC = 2alpha.
en 3ème, tu as vu les angles inscrits et les angles au centre qui interceptent le même arc.. (avec cet indice, tu as retrouvé cette propriété entre angle inscrit et angle au centre qui interceptent le même arc, n'est ce pas?)
CAB et COB interceptent le même arc CB
donc COB = le double de CAB
conclusion BOC = 2alpha
passons à la question 2.
avant, note sur ton schéma les cotés égaux, pour repérer les triangles isocèles, ça t'aidera.
Merci beaucoup pour la question 1 j'ai compris pour la question 2 les côtés égaux sont AC et AH c'est ça ?
Haz675,
j'ai l'impression que tu réponds au pif ? je me trompe ?
qu'est ce qui te permet de dire que AC=AH ?? même sur ta figure, c'est faux..
O est le centre du cercle, A , B, C sont sur le cercle. que dire de OA, OB, OC ?
oui, ce sont des rayons, ils sont de même mesure.
ainsi, le triangle AOC est isocèle en O.
dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux
==> OAC = OCA = alpha.
tu peux compléter ta figure avec cette info.
de même, le triangle BOC est isocèle en O : code aussi les angles égaux. à beta.
note aussi sur ta figure que BOC = 2alpha.
à présent question 2 : calculer beta en fonction de alpha.
place toi dans le triangle BOC
la somme des angles d'un triangle = ???
donc OBC + BCO + COB = ??
etc..
La somme des angles d'un triangles est égale à 180 degrés. OCB + BCO + COB = bêta pour cela je suis pas sur
oui, la somme fait 180°
OBC + BCO + COB = 180° ( mes questions sont très simples, je te guide pas à pas, en utilisant des notions du collège que tu dois connaitre, ne réponds pas au pif, OK ?).
sur ta figure, tu as noté que
OBC = beta, OCB = beta et BOC = 2alpha
dans OBC + BCO + COB = 180° remplace le rouge par le bleu.
ca donne quoi ?
les couleurs, c'est moi qui les mets, pas de pb;
OBC et OCB =bêta et BOC = 2 alpha : OUI,
donc OBC + BCO + COB = 180° devient ??
mais non, et ACB ne mesure pas 180° !! que vient faire ACB ici ?
tu fais autre chose en même temps ?
OBC = beta, OCB = beta et BOC = 2alpha
dans OBC + BCO + COB = 180° remplace le rouge par le bleu.
ca donne quoi ?
ca donne beta + beta + 2 alpha = 180°
==> 2 beta + 2 alpha = 180°
==> 2 beta = 180 ° - 2alpha
==> beta = ??
non, beta ne mesure pas 90°
je ne vois pas ce qui te permet de dire ça..
tu dois exprimer beta en fonction de 2alpha
j'ai fait presque tout le travail
2 beta = 180 ° - 2alpha
beta = (180° - 2alpha) / 2
voilà tout.
ensuite, en déduire que ACB = 90°
2 beta + 2 alpha = 180°
beta + alpha = 90°
sur ta figure, beta + alpha = ACB
question 1b terminée.
la question 2 fait encore appel à des notions du collège.
comment écris tu cos et sin dans un triangle rectangle ?
Mercii beaucoup pour la question 1b pour la 2 cos = côté adjacent / hypoténuse et sin= côté opposé à l'angle / hypoténuse
AH c'est le côté adjacent et AC l'hypoténuse ça j'ai compris mais après je comprends pas comment le montrer à par
tu viens de me dire que
cos = adjacent / hypoténuse
donc cos alpha = AH / AC non ?
ensuite, montrer que cos alpha = AC/AB
place toi dans ABC rectangle en C
oui, tu as répondu à la question 2a)
2b) Montrer que AH =1+cos(2alpha).
AH = AO + OH
montre que AO=1
ensuite place toi dans le triangle OHC rectangle en H
cos COH = ?? / ??
J'ai pas compris comment AO =1 ?
AB = 2, c'est le diamètre.. AO, OC et OB sont des rayons.
oui, le rayon vaut la moitié du diamètre.
AO=OC=OB= 1
cos COH = OH/OC : d'accord.
COH = 2alpha (cf question 1)
OC = 1 (on vient de le voir)
donc cos (2alpha) = OH
alors
AH = AO + OH
AH = ?? + ??
mais enfin Haz675, est ce que tu lis ce que j'écris ??
et est ce que tu regardes ce que toi, tu écris ??
comment AH pourrait mesurer 2, alors que AB =2 ?? AH est plus court que AB !
Franchement, je ne comprends pas comment tu arrives à écrire ça.
AH = AO + OH
AO=1 et OH = cos(2alpha)
AH = 1 + cos(2alpha). ce que demandait la question 2b)
Je suis désolé je me suis trompé AH = 1 + cos alpha
Mais comment faire pour savoir OH est égale à combien
AH = 1 + cos(2alpha)
comment faire pour determiner OH ?
je te l'ai donné à 15:11
cos COH = OH/OC
COH = 2alpha (cf question 1)
OC = 1 (on vient de le voir)
donc cos (2alpha) = OH
il y a la c) d'abord.
C. Exprimer cos(2alpha) en fonction de cos(alpha).
on a montré que cos (alpha)= AC/AB = AH/AC
AC/AB = AH/AC
produit en croix :
AB * AH = AC²
tu sais que AC = 2 cos(alpha)
et que AH= 1 + cos(2alpha)
et que AB = 2
donc AB * AH = AC² donne ?
on essaie de répondre à la question
Exprimer cos(2alpha) en fonction de cos(alpha)
AB* AH =AC²
2 * (1 + cos(2alpha) = (2 cos (alpha)) ²
2 * (1+ cos(2alpha) ) = 4 cos² (alpha)
je divise de chaque coté par 2
1 + cos (2alpha) = 2 cos²(alpha)
cos (2 alpha) = 2cos²(alpha) -1
là, on a exprimé cos(2alpha) en fonction de cos(alpha), c'était la question.
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