Niveau seconde

La valeur absolue

Posté par
Houssam1998 30-07-13 à 15:10

Bonjour,
J'ai trouvé récemment cet exercice:
Démontrer que |(ax+b)/(x^2+1)|≤1/2.|a|+|b|
pour tout a, b, x et y de R
J'ai beaucoup essayé de le résoudre mais vainement
Merci d'avance

Posté par re : La valeur absolue 30-07-13 à 15:26

Salut,

Tu peux étudier la fonction $x \to \frac{ax+b}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ avec (a,b) fixés dans $\mathbb{R}^2$

C'est un peu bourrin mais bon c'est une méthode

Posté par re : La valeur absolue 30-07-13 à 16:00

Salut,
Votre méthode est bonne: je l'ai bien compris mais pour nous ça suppose que nous n'avons pas encore étudié ce genre de fonctions.
Merci quand même

Posté par re : La valeur absolue 30-07-13 à 16:13

La seule indication qu'on peut utiliser:
pour tout x de R
2|x|≤x^2+1
J'ai essayé de remplacer x par ax+b mais en vain

Posté par re : La valeur absolue 30-07-13 à 16:40

$|ax+b| \le |a||x|+|b| \le |a|\frac{x^2+1}{2}+|b| \le (x^2+1)(\frac{|a|}{2}+\frac{|b|}{x^2+1})$

Or $1 \le (x^2+1)$ donc $\frac{1}{x^2+1} \le 1$

Donc $|ax+b| \le (x^2+1)(\frac{|a|}{2}+\frac{|b|}{x^2+1}) \le (x^2+1)(\frac{|a|}{2}+|b|)$

Soit $\frac{|ax+b| }{x^2+1} \le \frac{|a|}{2}+|b|$

Posté par re : La valeur absolue 30-07-13 à 16:49

Merci infiniment

Posté par re : La valeur absolue 30-07-13 à 17:04

Je t'en prie
A +

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