Lancer infini de pièces

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Lancer infini de pièces
Posté par 
Sylvieg   08-03-20 à 07:32
Bonjour,
Encore un sujet pompé sur un autre :  Probabilités - Lancer infini de pièces
Le départ est le même, mais pas les questions posées.

Un joueur lance indéfiniment une pièce de monnaie, dont la probabilité d'apparition de pile est a, et celle de face 1-a. 
S'il obtient pile, il marque un point ; s'il obtient face, il marque deux points. 
Pour tout entier naturel n , on note An  l'événement : "Le joueur obtient, au cours du jeu, un score exactement égal à n". 
Soit pn  la probabilité de cet événement.

Saurez-vous trouver pn en fonction de n et a plus simplement que par la méthode qui y est proposée ?
Autrement dit sans passer par une suite linéaire récurrente d'ordre 2 ; uniquement avec des outils de terminale.

Vous pouvez blanquer pour laisser à d'autres le plaisir de chercher 
 Posté par 
Zrunre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 08:02
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Une méthode qui me vient que je rédigerai plus proprement plus tard car je n'ai pas trop le temps . 

On fixe n et on procède par calcul direct. 

On note  l'évènement « On obtient exactement k face avant d'avoir n points » puis on calcule  ... 
 Posté par 
Zrunre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 08:11
La suite ... 

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Calculons 

En faisant k faces et avec n points , on fait  piles donc    

Il ne reste « plus qu'à » sommer mais je ne vois pas encore comment faire ...  
 Posté par 
verdurinre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 08:22
Bonjour.



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On peut le faire avec une suite récurrente d'ordre 1.





Est-ce niveau terminale, je ne sais pas.
 Posté par 
Sylvieg re : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 08:30
@Zrun,

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Trop compliqué...

@verdurin,

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Prendre ensuite des initiatives n'est pas du niveau terminale.

Mais si on introduit la bonne suite auxiliaire, ça le devient.
 Posté par 
carpediemre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 11:43
salut



je ne comprends pas comment verdurin arrive à son résultat ... 
 Posté par 
Sylvieg re : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 14:17
@carpediem,
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Le contraire m'eût étonné.

Ce n'est pas une méchanceté mais une indication 
 Posté par 
lakere : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 14:25
Bonjour,



 
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L'évènement contraire! Je viens juste de comprendre!
 Posté par 
carpediemre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 14:35
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oui je vois bien avec ce 1 l'idée des événements contraires ... mais je n'arrive pas à me "conforter" l'idée vague que j'ai ... à me la dire proprement ...

ou alors pour le dire clairement :
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soit on a n soit on n'a pas n donc n + 1 (à partir de n - 1 + 2)

car les événements A(n - 1) et A(n) partitionnent l'univers (pour tout n) ...

non même pas .... disons que dit comme ça ça ne va pas ...


Citation :
Autrement dit sans passer par une suite linéaire récurrente d'ordre 2 ; uniquement avec des outils de terminale.
 cela s'étudie quand même un peu en terminale avec quelques indications 

et on peut arriver assez vite à une suite géométrique (donc linéaire d'ordre 1) (même si le pb n'est pas résolu complètement)

edit
 Posté par 
Zrunre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 14:35
@Sylvieg 

Effectivement je pensais que ma méthode donnerai un calcul plus simple ... Bon au moins ça permet de donner la valeur d'une somme ignoble 



Bien vu @verdurin ! 
 Posté par 
Sylvieg re : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 16:51
@carpediem,

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Il y a de l'idée dans

Citation :
soit on a n soit on n'a pas n donc n + 1 (à partir de n - 1 + 2)
L'événement contraire qui est "ne pas passer par n" revient à sauter l'étape où on pourrait avoir n.

Autrement dit, passer directement de n-1 à n+1.

Et c'est la seule manière de ne pas obtenir n.

Et pourquoi dis-tu ceci ?Citation :
même si le pb n'est pas résolu complètement
 Posté par 
Zrunre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 16:58
Parce qu'il faut resoudre la récurrence linéaire d'ordre 1 ...
 Posté par 
Sylvieg re : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 17:05
Pas très compliqué :
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Résoudre x = (a-1)x + 1.

Solution r.

Poser un= pn-r

La suite (un) est géométrique de raison (a-1).

Tout ça est compréhensible par un élève de terminale.



Et on peut vérifier à la fin que pn = 1 si a =1.

Et que pn = 1 ou 0 selon la parité de n si a= 0.
 Posté par 
carpediemre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 17:32
Sylvieg
Sylvieg @ 08-03-2020 à 16:51

Et pourquoi dis-tu ceci ? Citation :
 même si le pb n'est pas résolu complètement


parce que avec la récurrence d'ordre 2 on a immédiatement :


 donc a une suite géométrique élémentaire


et quand je dis que ce n'est pas fini il faut "simplement" penser à sommer cette dernière égalité (somme télescopique des termes d'une suite géométrique) 


qui se fait "assez" régulièrement en term ...


 Posté par 
Sylvieg re : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 18:14
D'accord 
 Posté par 
flightre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 18:47
salut



je propose une réponse directe : 



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si n est pair    Pn = C(n-k,k).an-2k.(1-a)k

pour k compris entre 0 et n/2.

verification si n= 2  ( k compris entre 0 et1)

P2 = C(2-0,0).a²(1-a)0+C(1,1).a0.(1-a) = a²-a+1



si n est impair    Pn = C(n-k,k).an-2k.(1-a)k

pour k compris entre 0 et (n-1)/2.

verification si n =3      (k compris entre 0 et 1)

P3 = C(3,0).a3(1-a)0+C(2,1)a.(1-a) = a3+2a(1-a)=a3-2a²+2a

a3-2a²+2a



possible de faire surement un "deux en un" mais je me suis pas penché dessus
 Posté par 
Sylvieg re : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 19:15
@flight,

Je n'ai pas vérifié ce que tu trouves car il y a une formule beaucoup plus simple.

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 Posté par 
Zrunre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 19:47
Flight  a la même formule que moi 
 Posté par 
verdurinre : Lancer infini de pièces  08-03-20 à 21:28
J'ai la même formule que Sylvieg. 

On peut voir ça comme une expression simple de la somme compliquée donnée par Zrun et flight.
  Posté par 
Sylvieg re : Lancer infini de pièces  09-03-20 à 08:36
Nous terminons dans la bonne humeur 

Bravo à tous les participants !