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Niveau 3 *
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Le billard***

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
29-09-05 à 12:25

Le billard.

On dispose d'un billard rectangulaire de 2 mètres sur 3 mètres.

Il y a 6 trous situés aux 4 coins et au milieu des grands cotés du billard.

Une boule est placée au centre du billard.

Le but est de réussir à jouer la boule (sans effet) de telle manière qu'elle rebondisse au moins une fois et que son trajet total soit un nombre entier de mètres avant de tomber dans un des trous.

Quelle est la longueur minimum du trajet de la boule et combien de fois la boule a-t-elle rebondi lors de ce trajet ?.

On considère que la taille de la boule et la taille des trous sont négligeables.

Attention les 2 réponses sont nécessaires pour obtenir un
-----
Bonne chance à tous.  


Posté par sanchez (invité)Faut pas être une queue... 29-09-05 à 13:23

gagné...pour réussir un coup pareil !

D'abord il faut se demander comment faire pour que la longueur totale soit entière. Il faut soit tirer horizontalement soit verticalement et que ça tombe dans un trou après avoir fait une bande et on se rend vite compte que c'est impossible, soit que la somme des carrés des déplacements verticaux et horizontaux soit un carré parfait... il nous faut un triplet de Pythagore !

On sait de plus que le déplacement vertical est impair.

Pour le triplet 3, 4, 5 il faut que le déplacement horizontal soit de 4 ce qui n'est pas possible (car multiple de 1,5).

Pour le triplet suivat 5, 12, 13 il est facile de trover une solution.  

Longueur 13m et 6 bandes à faire avant de tomber dans le trou (au milieu).

Il y a quatre solutions mais elles sont en fait crées par les symétries du billard.

En tout cas un coup sans doute difficile à jouer !

Posté par
Nofutur2
re : Le billard*** 29-09-05 à 14:24

gagnéAu lieu d'ajouter des portions de segments, je considère que la boule, au lieu de rebondir, passe sur un autre billard.
Je définis ainsi un repère où les trous ont pour coordonnées ((3/2)*k ; 1+2*k'), avec k et k' appartenant à N.
Je dois avoir ((3/2)*k)2 +(1+2k')2 égal au carré d'un entier.
Je cherche les triplets pythagoriciens qui comportent un nombre impair (1+2k')dans les deux premiers.
Il y a d'abord 3,4,5.
On a donc  (3/2)*k = 4, ce qui ne donne pas k entier.
On a ensuite 5,12,13.
On a donc (3 /2)*k = 12, soit k =8 et 1+2k' = 5, soit k'=2
C'est donc le trou de coordonnées (12,5) qui sera atteint en premier. C'est un trou du milieu du grand côté.
Le nombre de rebonds est égal au nombre de bords traversés, soit E(k/2)+k' = 4+2=6.

La longueur minimum du trajet de la boule sera donc de 13 m (pour cette longueur soit entière) et la boule aura rebondi 6 fois lors de ce trajet.
Je vérifie aisément que la boule ne tombe dans aucun trou sur ce trajet, en calculant alpha tel que tan(alpha) = 5/12 et en le comparant aux angles de trous les plus proches du trajet.

Posté par
piepalm
re : Le billard*** 29-09-05 à 16:18

gagnéAvec les symétries convenables, un trajet avec rebonds correspond à un déplacement dans un plan quadrillé selon les dimensions du billard, chaque franchissement d'une ligne correspondant à un rebond.
Les trous ont alors pour coordonnées 3p/2, 2q+1 avec p et q entiers relatifs; la longueur du parcours sera entière si ces coordonnées font partie d'un triplet pythagoricien.
Il me semble que le premier qui convienne est 5,12 (5^2+12^2=13) soit p=8 q=2
Soit un trajet de 13m et 4+2=6 rebonds

Posté par
la_brintouille
re : Le billard*** 29-09-05 à 20:37

gagnéLa longueur du trajet est de 13m, et la bille rebondit 6 fois.

Posté par
borneo
re : Le billard*** 29-09-05 à 21:05

gagné13 mètres et 6 rebonds
l'explication suit si j'arrive à poster les images

Posté par
borneo
re : Le billard*** 29-09-05 à 21:11

gagnédes mètres linéaires...

Le billard

Posté par
borneo
re : Le billard*** 29-09-05 à 21:31

gagnéDur de réduire les images... j'en ai rogné un peu. Merci qui ?

Le billard

Posté par
Nofutur2
re : Le billard*** 30-09-05 à 08:53

gagnéEn complément, la mise en image ....


Le billard

Posté par sanchez (invité)Un petit dessin d explication 30-09-05 à 08:53

gagnéPour simplifier les recherches j'ai utilmiser un bnouveau billard virtuel à chaque fois que la boule fait un rebond. Le trajet sur un seul billard est déduit du précédent.

Un petit dessin d explication

Posté par philoux (invité)re : Le billard*** 30-09-05 à 10:07

gagnéBonjour,

Réponse proposée : 13m pour 6 rebonds

Méthode proposée :
Après avoir bien galéré avec les angles reportés et en triturant les formules de trigo pour avoir le cas général de v rebonds sur le bord vertical et h rebond sur le bord horizontal, j'ai repris le pb sous forme géométrique.

En dépliant la trajectoire de la boule en effectuant un pavage de rectangles 3 par 2, on obtient une trajectoire rectiligne dont la longueur s'obtient par Pythagore avec les côtés :
- sur l'horizontale : (1+ h)(3/2) puisque les trous peuvent être tous les 1.5m
- sur la verticale : (1+2v) puisque les trous peuvent être tous les 2m

la longueur L vaut alors :

L²=(9(1+h)²+4(1+2v)²)/4

en utilisant un tableur et faisant varier h et v de 1 à 50 pour trouver une valeur de L étant un carré parfait, on trouve les valeurs suivantes dont L minimal est obtenue pour h=2 et v=7 L=13m.

Je ne suis pas satisfait de cette réponse pour 2 raisons :
- je n'ai pas prouvé que la boule arrivait dans un des 6 trous,
- j'ai tatonné avec Excel pour trouver les valeurs telles que (9(1+h)²+4(1+2v)²)/4  soit un carré parfait.

Sûrement qu'une démonstration rigoureuse doit permettre de trouver analytiquement toutes les valeurs de v et h tel que L² soit un carré parfait.
Quelquechose du genre équations diophantiennesoù piepalm cherchait à m'expliquer une méthode avec fractions continues (peut-être me trompe-je ?) : les bases me manquent !

J'attends impatiemment les explications des "pros" sur le bon mode opératoire.

Merci pour cette énigme sympa (qui mérite ses 3 étoiles, au risque de courroucer J-P ), énigme qui sent tout de même le poisson...à suivre

Philoux

Le billard

Posté par philoux (invité)re : Le billard*** 30-09-05 à 10:15

gagnéAyant eu un plantage de serveur, je reposte au cas où :

Bonjour,

Réponse proposée : 13m pour 6 rebonds

Méthode proposée :
Après avoir bien galéré avec les angles reportés et en triturant les formules de trigo pour avoir le cas général de v rebonds sur le bord vertical et h rebond sur le bord horizontal, j'ai repris le pb sous forme géométrique.

En dépliant la trajectoire de la boule en effectuant un pavage de rectangles 3 par 2, on obtient une trajectoire rectiligne dont la longueur s'obtient par Pythagore avec les côtés :
- sur l'horizontale : (1+ h)(3/2) puisque les trous peuvent être tous les 1.5m
- sur la verticale : (1+2v) puisque les trous peuvent être tous les 2m

la longueur L vaut alors :

L²=(9(1+h)²+4(1+2v)²)/4

en utilisant un tableur et faisant varier h et v de 1 à 50 pour trouver une valeur de L étant un carré parfait, on trouve les valeurs suivantes dont L minimal est obtenue pour h=2 et v=7 L=13m.

Je ne suis pas satisfait de cette réponse pour 2 raisons :
- je n'ai pas prouvé que la boule arrivait dans un des 6 trous,
- j'ai tatonné avec Excel pour trouver les valeurs telles que (9(1+h)²+4(1+2v)²)/4  soit un carré parfait.

Sûrement qu'une démonstration rigoureuse doit permettre de trouver analytiquement toutes les valeurs de v et h tel que L² soit un carré parfait.
Quelquechose du genre équations diophantiennesoù piepalm cherchait à m'expliquer une méthode avec fractions continues (peut-être me trompe-je ?) : les bases me manquent !

J'attends impatiemment les explications des "pros" sur le bon mode opératoire.

Merci pour cette énigme sympa (qui mérite ses 3 étoiles, au risque de courroucer J-P ), énigme qui sent tout de même le poisson...à suivre

Philoux

Le billard

Posté par
caylus
re : Le billard*** 30-09-05 à 15:05

gagnéBonjour,

3$ \red\fbox{6 rebonds}\,\, \fbox{13 m}

Si v représente le nombre de bandes verticales (2 m) et h le nombre de bandes horizontales (3m) que la boule doit percuter pour arriver dans un trou central , on a


d=\sqrt{(3.v)^2+(2.h+1)^2} doit être un entier

On trouve comme  premier couple (4,2)=(v,h)
Donc la boule rebondi 6 fois et le trajet est \sqrt{12^2+5^2}=13

Posté par lordtk (invité)re : Le billard*** 30-09-05 à 16:00

perduLa distance minimale parcourue par la boule est de 3,16 metres environ (Soit "RACINE CARRE de 10")
Car il suffit de viser l'un des trous des 4 coins(et non ceux du milieu),tout en visant le coin de ces trous(le principe du "L"

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le billard*** 01-10-05 à 10:46

Enigme clôturée.


Posté par
borneo
re : Le billard*** 01-10-05 à 13:19

gagnéComment tu fais Philoux pour poster d'aussi jolies images ? Je n'ai réussi qu'à mettre des petits bouts...

Posté par philoux (invité)re : Le billard*** 01-10-05 à 19:22

gagnéBonjour borneo

tout est là : Comment réduire une image pour la poster



Philoux

Posté par
borneo
re : Le billard*** 02-10-05 à 10:45

gagnéJe ne suis pas très douée, mais très tenace. Donc je finis par y arriver. Comme dans "la terre encordée" une de mes premières énigmes (3 étoiles) où j'ai mis trois jours... Merci de tes conseils.

Le billard

Posté par philoux (invité)re : Le billard*** 02-10-05 à 15:29

gagnéBonjour,

Qu'auriez-vous répondu à cette question :

"Quelles sont les cinq plus courtes distances entières aboutissant à un trou du billard ?"

Philoux

Posté par
piepalm
re : Le billard*** 02-10-05 à 16:11

gagné13, 15, 25, 39 et 45?

Posté par
borneo
re : Le billard*** 02-10-05 à 22:04

gagnéMoi j'avais trouvé 15, mais je n'ai pas cherché plus loin. Reste à vérifier si la boule n'est pas déjà tombée dans un trou... avec un trajet plus court, mais pas une distance qui tombe sur un nombre entier.

Posté par
piepalm
re : Le billard*** 02-10-05 à 22:52

gagnéPour 39 et 45, la boule sera déjà tombée au tiers de la distance; 13 et 15

Posté par philoux (invité)re : Le billard*** 03-10-05 à 08:37

gagnéBonjour,

La question des 5 premières distances avaient pour but d'éliminer des distances qui ne peuvent pas correspondre à des trajets réels de la boule.

En effet, les dix distances dans l'ordre croissant sont (seraient) :
13 - 15 - 25 - 37 - 39 - 45 - 51 - 61 - 65 - 73

les tangentes des angles / horizontale correspondant à ces distances sont :
5/12 - 3/4 - 7/24 - 35/12 - 5/12 - 3/4 - 15/8 - 11/60 - 5/12 - 55/48

On constate donc que la distance 39 ne pourra pas être atteinte car, dès 13 m, la bille tombera dans un trou.
Même constat pour la distance 45 qui ne pourra pas être atteinte car, dès 15 m, la bille tombera dans un trou.

Le cinq premières distances sont(seraient) donc :

13 - 15 - 25 - 37 - 51

Si d'aucuns voient des erreurs, merci d'intervenir...

Philoux

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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