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Niveau troisième
le calcul numerique
Posté par adam656
bonjour les amis
svp j ai besoin de votre aide je n arrive pas a trouver une solution pour un probleme et merci d avance
si trois nombres x y et z sont tels que leur produit soit 1 et que la somme de leurs inverses soit égale à leur somme
"""Monter que l un deux est egal a 1""
Salut,
Il faut que tu traduises l'énoncé avec des égalités mathématiques.
Ça veut dire quoi que le produit de x,y et z est égale à 1 ?
Écris le sous forme d'égalité.
salut c est comme ca
on a xyz=1
1/x+1/y+1/z
x+y+z
monter que l un deux est egale a 1
c est clair maintenant??
Bonjour,
j'ai bien une solution (en 3 lignes) mais je doute que ce soit au niveau 3ème ... 
(même pas connu en Terminale il me semble)
à part la solution réputée = 1 si on en croit ce qu'il faut démontrer, les deux autres sont fatalement de même signe, mais quelconque.
la réciproque est immédiate :
x = 1, z = 1/y quel que soit y (≠ 0 bien entendu) implique xyz = 1 et 1/x + 1/y + 1/z = x + y + z
la difficulté est la question directe de l'énoncé :
à savoir que si xyz = 1 et 1/x + 1/y + 1/z = x + y + z alors forcément un des trois (que l'on peut décider d'appeler x) est égale à 1.
- que B ==> A (facile mais pas demandée) ne donne absolument aucun indice sur la démonstration (demandée) de A ==> B
juste que "il est plausible" que ce soit vrai.
- que je n'ai pas de démonstration au niveau 3ème de ce qu'on demande.
que j'en ai une au niveau "post Bac" (ou peut être au niveau Bac d'il y à 50 ans) donc que je ne peux pas donner ici.
Bien le bonsoir, Adam656.
Pour le problème suivant : "Soit trois nombres x y et z tels que leur produit soit 1 et que la somme de leurs inverses soit égale à leur somme, montrez que l'un d'eux est égal a 1."
Il suffit dans un premier temps de traduire l'énoncé par un calcul.
1. "Soit trois nombres x y et z tels que leur produit soit 1."
> x * y * z = 1.
2. "Leurs inverses."
> 1/x, 1/y et 1/z.
3. "La somme de leurs inverses soit égale à leur somme."
1/x + 1/y + 1/z = x + y + z.
Il ne vous reste plus qu'à trouver la solution.
Pour vous aider, si vous reprenez x * y * z = 1, vous savez qu'aucun d'eux ne vaut 0 sinon, le résultat de ce produit serait nul. De plus, si l'un d'eux vaut plus que 1, soit 2 par exemple, le résultat serait donc supérieur à 1.
Donc, on peut conclure qu'au moins l'un d'entre eux fait 1 et que les autres font soit 1, soit -1 étant donné que le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif.
Par exemple : x * y * z = 1 * (-1) * (-1) = 1.
De là, cela peut vous aider pour résoudre la suite du problème.
[SY].
ma solution est d'utiliser les fonctions symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
alors si tu ne sais pas ce que c'est, inutile en 3ème.
on peut "rédiger" ça niveau 3ème mais personne (pas ton prof en tout cas) ne peut croire que un élève de 3ème serait capable d'imaginer une telle méthode.
indice :
soient x, y, z les trois nombres
développer l'équation en l'inconnue U :
(U - x)(U - y)(U - z) = 0
dont les solutions sont bien x,y,z (équation produit nul)
poser S = x+y+z et exprimer ce développement en fonction de S uniquement (et bien sur avec l'inconnue U), à partir des conditions de l'énoncé :
xyz = 1
1/x + 1/y + 1/z = x+y+z
en multipliant les deux membres de la seconde par xyz
observer que cette équation développée en U possède la solution évidente U = 1 quel que soit la valeur de S
terminé.
nota : vu ton autre post, tu sembles attendre des solutions toutes cuites, désolé mais ce n'est pas le style de la maison (le but de ce site)
alors si tu veux réellement faire cet exo , tu effectues réellement les calculs que je te décris.
Citation :
De plus, si l'un d'eux vaut plus que 1, soit 2 par exemple, le résultat serait donc supérieur à 1.
De plus, si l'un d'eux vaut plus que 1, soit 2 par exemple, le résultat serait donc supérieur à 1.
raisonnement faux
exemple, 1, 4, 1/4 satisfait à toutes le conditions (déja dit) et pourtant une des valeurs 4 est > 1
le problème et sa difficulté est de démontrer que ces solutions, (1, y, 1/y) sont les seules (que nécessairement un des nombres vaut 1)
Bien le bonsoir, Mathafou.
Je partais du principe que je ne prenais pas de nombre décimal.
J'ai oublié de le préciser. Navrée.
[SY].
Je poursuis mais avant toute chose, j'aimerais préciser que le but de ce forum est d'aider les autres en leur expliquant les choses et non, en faisait leur travail. Donc, je comptais sur toi pour compléter mon explication. Etant donné que tu aies compris, tu devrais reprendre les valeurs que j'ai données et voir si cela fonctionne avec les deux autres calculs.
1. "Soit trois nombres x y et z tels que leur produit soit 1."
> x * y * z = 1.
Prenant comme valeurs : x = 1, y = -1 et z = -1.
2. "Leurs inverses."
> 1/x, 1/y et 1/z.
1/x = 1/1 = 1.
1/y = 1/(-1) = ?.
1/z = ?.
Je te laisse compléter.
3. "La somme de leurs inverses soit égale à leur somme."
1/x + 1/y + 1/z = x + y + z.
De ce fait, qu'est-ce que cela donne pour ce calcul, en gardant les mêmes valeurs précédentes ?
adam656 : j'ai tout dit pour une méthode qui marche, à toi de l'appliquer (relire le but de ce site)
SophieYoshi
Je partais du principe que je ne prenais pas de nombre décimal.
Je partais du principe que je ne prenais pas de nombre décimal.
si tu modifies l'énoncé en :
si trois nombres entiers (relatifs) x y et z sont tels que leur produit soit 1 et que la somme de leurs inverses soit égale à leur somme
etc
cet énoncé devient absurde
parce que xyz = 1 implique qu'ils sont tous les trois égaux à 1 en valeur absolue (les seuls diviseurs de 1) et que leur somme est donc forcément toujours égale à la somme de leurs inverses
et cette condition de l'énoncé (somme = somme des inverse) n'aurait pas raison d'être du tout dans l'énoncé
donc rajouter "nombres entiers" n'est pas résoudre le problème posé, mais un autre, infiniment plus facile
(que tu as résolu si on supprime de ta démonstration tout ce qui est relatif à la somme et la somme des inverses, puisque ça ne sert à rien)
SophieYoshi tu viens de démontrer la réciproque de ce qu'on demande dans l'énoncé, et en plus dans un cas particulier.
(je l'avais déja fait dans le cas plus général 1, y, 1/y quel que soit y)
il y a des tas de propriétés dont la réciproque est vraie et l'énoncé direct faux
donc tu n'as rien démontré du tout en ce qui concerne l'exo :
si xyz = 1 et x+y+z = 1/x + 1/y + 1/Z alors l'un des trois x, ou y ou z est forcément = 1
toi tu as démontré que si l'un d'eux x est égal à 1, on peut trouver des y et z = 1/y tels que xyz = 1 et x+y+z = 1/x+1/y+1/z
Pour moi, je ne vois que cette solution. Et je l'écris de nouveau, en partant du principe que je n'utilise pas de nombre décimal.
De plus, cela répond correctement au problème en tout point. Je le reprends pour que ce soit précis et parce que tu as trouvé la solution également.
1. "Soit trois nombres x y et z tels que leur produit soit 1."
> x * y * z = 1.
Trois nombres donc trois signes.
Sachant qu'on a le choix entre + et -.
De plus :
+ * + * + = +.
+ * + * - = -.
+ * - * - = +.
- * - * - = -.
Etant donné que le produit doit être égal à 1 soit +1, tu as le choix entre :
+ * + * + = + et + * - * - = +.
On va donc le faire avec les deux options.
Valeur [1] : x = 1, y = 1 et z = 1.
Valeur [2] : x = 1, y = -1 et z = -1.
2. "Leurs inverses."
> 1/x, 1/y et 1/z.
Valeur [1] : 1/x, 1/y et 1/z. Soit 1/1, 1/1 et 1/1. Soit 1, 1 et 1.
Valeur [2] : 1/x, 1/y et 1/z. Soit 1/1, 1/(-1) et 1/(-1). Soit 1, -1 et -1.
3. "La somme de leurs inverses soit égale à leur somme."
1/x + 1/y + 1/z = x + y + z.
Je reprends directement les valeurs de la 2.
Valeur [1] : 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1. Soit 3 = 3.
Valeur [2] : 1 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1. Soit -1 = -1.
Donc soit, tu choisis la valeur [1] pour x = 1, y = 1 et z = 1, soit tu choisis la valeur [2] pour x = 1, y = -1 et z = -1.
Sauf que dans l'énoncé, il est indiqué : "Montrez que l'un deux est égal à 1." Soit UN SEUL d'entre eux est égal à +1. Donc, la seul solution où UN SEUL nombre est égal à +1, c'est la valeur [2] avec x = 1, y = -1 et z = -1.
Sincèrement, je ne vois pas d'autres solutions en partant toujours du principe que je reste avec des nombres entiers.
[SY].
Je comprends mieux ce que vous écrivez Mathafou.
Oui, donc du coup, ce n'est qu'une solution parmi tant d'autres sachant que j'ai, comme vous l'écrivez, modifié l'énoncé.
Après, c'est parce qu'on a une approche de l'exercice différente. De ma manière, vous trouvez la solution bien simple mais de mon côté, je trouve cela compliqué de demander cela à un élève de niveau troisième quand même. Du coup, je suis partie du principe qu'on s'arrêtait aux nombres entiers.
[SY].
Citation :
que je n'utilise pas de nombre décimal
j'insiste : et donc que l'énoncé est stupide car il devrait être uniquement et rien d'autre :
que je n'utilise pas de nombre décimal
si trois nombres entiers x y et z sont tels que leur produit soit 1. point final.
Montrer que l'un deux est egal a 1
Par ailleurs cela n'a jamais voulu dire, une telle phrase, que un seul d'entre eux est égal à 1
sinon ce serait écrit :
"montrer qu'un seul d'entre eux est égal à 1"
(et ce serait faux puisque on pourrait avoir 1, -1, -1 à partir des seules hypothèses de l'énoncé,
à moins de mettre au début "entiers naturels")
par contre l'énoncé d'origine (en l'absence de précision, "des nombres" sont des nombres réels, et les deux conditions) est vrai :
cela implique vraiment que l'un d'eux est forcément et réellement égal à 1.
et j'ai esquissé une démonstration de ça
il ne reste qu'à faire les calculs détaillés.
(développer effectivement etc)
j'ai dit dès le départ que ce n'était pas du tout de niveau 3ème ...
c'est à la demande insistante de adam656 que j'ai développé d'avantage.
en précisant même que son prof ne croira jamais qu'il a imaginé une telle solution.
même si la technique de calcul est bien de niveau 3ème (développements, équation produit nul, manipulations algébriques avec des fractions)
Bonjour,
xyz=1
1/x+1/y+1/z=x+y+z
soit (yz+xz+xz)/xyz =x+y+z
arbitrairement x=1
yz+y+z=1+y+z
yz=1 on démontre que y=1/z
par l'absurde toute autre valeur de x ne convient pas.
je suis curieux de voir ton "raisonnement par l'absurde " permettant de prouver que
si propriété A (x = 1) alors propriété B (xyz=1, 1/x+1/y+1/z = x+y+z)
impliquerait
si propriété B (xyz=1, 1/x+1/y+1/z = x+y+z) alors propriété A (x = 1)
ça revient à dire que pour tout théorème quel qu'il soit, la réciproque est vraie ...