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Niveau seconde
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le carré tournant

Posté par
chloeled
02-11-22 à 10:20

Bonjour à tous!

ABCD est un carré. Pour tout réel k de l'intervalle [0;1], on note M, N, P et Q les points respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA] tels que :
AM = BN = CP = DQ = k*AB.
1. Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ?
2. On note c le côté du carré ABCD et a l'angle BMN. Justifier que
MN = c*sqrt(k²+(1-k)²) et que tana = k/(1-k)

Voilà, après quasiment 15 jours de persévérance, de recherche sur Internet, d'essai, je capitule et viens vous demander de l'aide!
Je n'ai aucune donnée et même si je sais que la réponse à la 1ère question est "un carré", je ne sais l'expliquer!
J'ai réussi à prouver que tana = k/(1-k) ... A peu près.
Par contre, je sèche pour MN. J'ai tenté par Pythagore mais je n'aboutis à rien: (c-k*c)² + (k*c)²
En ce qui concerne Python, je réussi à obtenir les 2 premiers carrés. Le 3ème n'est pas bon dans ma programmation:
from turtle import*
from math import*

def carre(cote):
    for i in range(4):
        forward(cote)
        left(90)

reset()
goto(0,0)
k=1/5
carre(200)

forward(200*k)
alpha=degrees(atan(k/(1-k)))
k1=sqrt(k**2+(1-k)**2)
left(alpha)
carre(200*k1)

forward(200*k1)
alpha=degrees(atan(k1/(1-k)))
k2=sqrt(k1**2+(1-k1)**2)
left(alpha)
carre(200*k2)

Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci infiniment.

le carré tournant

malou edit > ** énoncé recopié après coup **

Posté par
malou Webmaster
re : le carré tournant 02-11-22 à 10:25

Bonjour chloeled, bienvenue
recopie le préambule et la question 1 (indispensable pour le référencement)
je te remercie

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?



ensuite quelqu'un pourra te venir en aide

Posté par
chloeled
le carré dit tournant ou imbriqué ou emboité 02-11-22 à 10:39

Bonjour à tous!
Voilà, après quasiment 15 jours de persévérance, de recherche sur Internet, d'essai, je capitule et viens vous demander de l'aide!
ABCD est un carré. Pour tout réel k de l'intervalle [0;1], on note M, N, P et Q les points respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA] tels que :
AM = BN = CP = DQ = k*AB.
1. Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ?
2. On note c le côté du carré ABCD et a l'angle BMN. Justifier que
MN = c*sqrt(k²+(1-k)²) et que tana = k/(1-k)

Je n'ai aucune donnée et même si je sais que la réponse à la 1ère question est "un carré", je ne sais l'expliquer!
J'ai réussi à prouver que tana = k/(1-k) ... A peu près.
Par contre, je sèche pour MN. J'ai tenté par Pythagore mais je n'aboutis à rien: (c-k*c)² + (k*c)²
En ce qui concerne Python, je réussi à obtenir les 2 premiers carrés. Le 3ème n'est pas bon dans ma programmation:
from turtle import*
from math import*

def carre(cote):
    for i in range(4):
        forward(cote)
        left(90)

reset()
goto(0,0)
k=1/5
carre(200)

forward(200*k)
alpha=degrees(atan(k/(1-k)))
k1=sqrt(k**2+(1-k)**2)
left(alpha)
carre(200*k1)

forward(200*k1)
alpha=degrees(atan(k1/(1-k)))
k2=sqrt(k1**2+(1-k1)**2)
left(alpha)
carre(200*k2)

Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci infiniment.

** image supprimée **

*** message déplacé ***

Posté par
ty59847
re : le carré dit tournant ou imbriqué ou emboité 02-11-22 à 10:55

multipost, image ...
Tout faux.

*** message déplacé ***

Posté par
carpediem
re : le carré dit tournant ou imbriqué ou emboité 02-11-22 à 10:57

salut

tu peux déjà justifier que le quadrilatère MNPQ est un losange

ensuite il te reste à prouver qu'il possède un angle droit

*** message déplacé ***

Posté par
chloeled
re : le carré dit tournant ou imbriqué ou emboité 02-11-22 à 10:57

Ah... Ok. Super.

*** message déplacé ***

Posté par
chloeled
re : le carré dit tournant ou imbriqué ou emboité 02-11-22 à 11:03

ABCD est un carré.
Comme [AM] = [BN] = [CP] = [DQ] alors  [MN] = [NP] = [PQ] = [QN]
MNPQ est donc un losange.
Comment justifier l'angle droit?

*** message déplacé ***

Posté par
malou Webmaster
re : le carré tournant 02-11-22 à 11:09

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?



Posté par
carpediem
re : le carré tournant 02-11-22 à 11:13

chloeled @ 02-11-2022 à 11:03

Comme [AM] = [BN] = [CP] = [DQ] alors  [MN] = [NP] = [PQ] = [QN]
ces deux suites d'égalités sont fausses

[AM] désigne un segment : ensemble des points de la droite (AM) compris entre A et M

donc tu confonds le segment [AM] avec la longueur AM du segment [AM]

on te donne un angle a (pour alpha) dans un triangle qui n'est pas quelconque
un simple calcul d'angles dans cette figure te permettra de justifier que par exemple l'angle NMQ est droit

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 02-11-22 à 11:22

Je ne vois pas...

Posté par
carpediem
re : le carré tournant 02-11-22 à 11:27

que peux-tu dire de l'angle AMB ?

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 02-11-22 à 11:38

AMB = 180°
BMN = a

MBN = 90°
BNM = 180 - 90 - a
             = 90 - a

BNM = QMA

QMN = AMB - BMN - QMA
              = 180 - a - (90 - a)

Je galère
             90 -2

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 02-11-22 à 11:39

90 - 2 est une erreur de post...

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 02-11-22 à 12:02

C'est bon!!!

Dans le triangle MBN, MBN + BNM + NMB = 180
AMB = 180

BNM = 180-90 - a
             = 90 - a
QMA = BNM

AMB = BMN + NMQ + QMA
            = a + NMQ + 90 - a
180 = a + NMQ + 90 - a
NMQ = 180 - a - 90 + a
              = 90
MNPQ est un losange dont l'angle NMQ = 90°
Alors MNPQ est un carré!!!
Merci

Il me reste encore ce programme de Python...

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 02-11-22 à 12:08

A non c'est vrai, j'ai la formule
MN = c*sqrt(k²+(1-k)²)...
Puis-je utiliser Pythagore ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : le carré tournant 02-11-22 à 13:52

Bonjour,
en attendant carpediem,
pour calculer MN c'est bien entendu avec Pythagore ...

pour Python , on demande de tracer 10 carrés
on ne va pas recopier/modifier 10 fois le même code !
il faut faire une boucle

et déja réfléchir à la figure (ici les 4 premiers carrés) :

le carré tournant

en particulier remarquer (justifier) que :
l'angle dont chaque carré tourne par rapport au précédent est toujours le même
le rapport de réduction du côté par rapport au précédent est toujours le même
A3B3/A2B2 = A2B2/A1B1=A1B1/AB

Posté par
mathafou Moderateur
re : le carré tournant 02-11-22 à 14:28

PS tu n'as pas répondu à la question 3 ...
tu es passé directement à la 4 (exécuter puis modifier le programme)

modifier un programme nécessite déja de comprendre celui d'origine, donc de répondre aux questions 3.

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 02-11-22 à 18:22

Pour la première formule de la question 2 j'ai fait :
MN² = MB² + BN²
MN² = c - (k*AB)² + (k*AB)²
MN² = c - (k*c)² + (k*c)²
MN² = c * (-k)² + k²
MN = c * sqrt(-k)² + k²

Je n'ai pas pu aller plus loin...
Pour moi "c" est un facteur comme il est devant avec un multiplication. J'ai factorisé l'expression car "c" se situait dans chaque "partie".
Je ne comprends pas d'où vient le moins devant le k entre parenthèses et comment trouver (1-k).

Pour le deuxième j'ai :
tan a = opposé/ adjacent
tan a = k/AB
tan a = k/ AB- k
tan a = k/1-k

D'après ce que j'avais trouvé, j'ai supposé que AB faisait 1 mais je n'ai rien pour le prouver. Je ne sais donc pas si mon calcul est bon.

Si AB fait 1 alors, est-ce possible de factoriser deux "c" uniquement dans le premier calcul ? Cela me permettrai d'obtenir (1-k).

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 02-11-22 à 18:33

Effectivement je devais également faire la question trois.

Pour la a) j'ai  écrit que "carre" était un petit programme/ une variable, qui permet de tracer automatiquement un carré avec les mesures indiquées, dans le programme du dessous.

b) Le côté du premier carré tracé mesurera 200 (pixels).

c) La ligne 14 désigne l'angle de rotation (la tangente de l'angle).
La ligne 15 est la nouvelle longueur du côté du deuxième carré. (je ne suis pas sûre pour cette question car c'est la formule que je n'ai pas réussi à résoudre.)

d) La ligne 13 permet d'avancer d'un nouvel intervalle.
La ligne 16 permet de tourner vers la gauche de la mesure de l'angle a.
Et la ligne 17 permet de tracer le deuxième carré du programme (plus petit).

Posté par
mathafou Moderateur
re : le carré tournant 02-11-22 à 19:07

"c" est le côté du carré (sa mesure) c'est écrit dans l'énoncé

et donc AB = c
AM =k*AB = k*c
BM = AB - AM = c - k*c = c(1-k)
et BN = k*BC = k*c
etc

3)
carre(cote) est une fonction qui permet de tracer un carré de coté la valeur du paramètre "cote" en pixels
ainsi carre(200) ligne 12 trace un carré de coté 200 pixels par appel à cette fonction avec la valeur du paramètre cote = 200

après avoir tracé ce carré la tortue et revenue en A et regarde vers B (= sa position de départ)

la ligne 13 avance de A en M

la ligne 14 calcule l'angle dont il faudra tourner pour tracer le deuxième carré
c'est à dire l'angle BMN
cette valeur sera utilisée ligne 16 pour faire pivoter la direction de marche de la tortue
la ligne 15 est le calcul du rapport MN/AB
le coté du deuxième carré est ainsi 200*k1 (ligne 17, AB * (MN/AB) = MN)

à la fin du deuxième carré la tortue est revenue en M et regarde vers N, état de départ avant l'appel de carre(200*k1)
cette remarque servira pour savoir comment tracer le 3ème carré et les suivants ...

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 02-11-22 à 19:16

J'ai suivi vos conseils. Mais il me manque encore quelque chose... j'y suis presque!

le carré tournant

Posté par
mathafou Moderateur
re : le carré tournant 02-11-22 à 19:26


montre ton code ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : le carré tournant 03-11-22 à 08:44

as tu vu ton erreur ?

oublis du décalage et de la réduction par rapport au coté précédent (pas par rapport au coté initial)

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 03-11-22 à 10:34

Bonjour.
Allez, c'est pas le moment de lâcher, je vais y arriver!!!!
Je viens de revoir mon code... encore...
from turtle import*
from math import*

def carre(cote):
    for i in range(4):
        forward(cote)
        left(90)

reset()
goto(0,0)
k=1/5
carre(200)

for i in range(5):
    forward(200*k)
    alpha=degrees(atan(k/(1-k)))
    k1=sqrt(k**2+(1-k)**2)
    left(alpha)
    carre(200*k1)

exitonclick()

le carré tournant

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 03-11-22 à 10:58

Je crois que c'est bon pour la formule!!
MN² = MB² + NB²
MN² = (AB - k * AB)² + (k * AB)²
MN² = (c - k * c)² + (k * c)²
MN = sqrt(c - k * c)² + (k * c)²
MN = c * sqrt(1 - k)² + k²

J'espère ne pas m'être trompée cette fois !

Posté par
mathafou Moderateur
re : le carré tournant 03-11-22 à 11:29

manque juste une parenthèse

MN = sqrt((c - k * c)² + (k * c)²)
MN = c*sqrt( (1 - k)² + k² )
(sinon le sqrt n'est que sur le premier terme de la somme)

for i in range(5):
    forward(200*k)
    alpha=degrees(atan(k/(1-k)))
    k1=sqrt(k**2+(1-k)**2)
    left(alpha)
    carre(200*k1)

ce qui est en rouge est faux
le coté du carré varie et doit obligatoirement (au plus simple) être mis dans une variable
que l'on fait ...varier. (il diminue à chaque fois dans le rapport k1 par rapport à sa valeur précédente, pas par rapport à la constante 200)

d'autre part, ça n'empèche pas le fonctionnement correct mais comme ça ne change jamais autant calculer k1 et alpha une seule fois pour toutes avant la boucle :

alpha=degrees(atan(k/(1-k)))
k1=sqrt(k**2+(1-k)**2)

for i in range(5):
    forward(???*k)
    left(alpha)
    ...=... (ligne ajoutée pour gérer la taille variable des carrés)
    carre(???)

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 03-11-22 à 11:37

D'accord, merci pour la parenthèse. Je vois maintenant ce que vous voulez dire.

Je vais chercher pour le programme et je reviens vers vous ensuite !

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 03-11-22 à 13:20

Je désespère!

Je comprends bien qu'il faut faire varier le côté des carrés en fonction des côtés des carrés précédents... c'est le rôle de k...

Pour une première expérience de Python, c'est pas une réussite!

Posté par
mathafou Moderateur
re : le carré tournant 03-11-22 à 13:46

pas vraiment, c'est le role de k1

mais :
premler coté (en dehors de la boucle) 200, OK
2ème côte = 1er coté * k1
3ème cote = 2ème coté * k1

alors certes on peut écrire que ce deuxième côté sera finalement (200*k1)*k1 = 200*k12
et donc que les cotés seront successivement
200
200*k1
200*k12
200*k13
200*k14
etc

mais ces valeurs de cotés interviennent deux fois
une fois pour le décalage qui varie à chaque fois (k fois le coté précédent)
et une fois dans l'appel de carre()
il faudrait donc deux fois calculer des puissances successives de k1
sans se tromper (coté précédent / nouveau côté)
bof ...

bien mieux est comme je le disais de mettre les cotés comme variable à part entière, avec un nom, par exemple c
au départ on initialise c = 200

puis à chaque boucle on multiplie c par k1 :
c = c*k1

et dans la boucle il ne reste aucune trace de la valeur numérique 200
c'est uniquement la variable c qui sert.

Posté par
chloeled
re : le carré tournant 03-11-22 à 14:17

MERCIIIIIII!!!!!!
J'ai trouvé!!!! Grâce à votre patience et vos explications! MERCI!

le carré tournant

Posté par
mathafou Moderateur
re : le carré tournant 03-11-22 à 14:37



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