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le casino
J'aimerais ajouter un nouveau jeu à mon casino. C'est un jeu tout simple qui se joue avec un dé à 6 faces tout à fait standard mais où le 6 a été remplacé par une tête de mort.
A chaque tour, le joueur à le choix de s'arrêter là et de repartir avec son gain ou de relancer le dé. S'il relance le dé et qu'il tombe sur un chiffre, il ajoute ce chiffre à son gain. S'il tombe sur la tête de mort, c'est fini et il quitte la partie bredouille.
On considère deux type de joueurs, le premier ne s'arrête que quand il perd, il est là pour jouer pas pour gagner on l'appellera le flambeur. Le second a calculé le gain optimal et quand il le dépasse il s'arrête. On l'appellera le calculateur.
1) Quelle est le gain optimal que doit choisir le calculateur?
2) Quel doit être le prix d'entrée minimal pour que ce soit rentable pour moi même avec seulement des calculateurs?
3) Quelle est la durée moyenne d'une partie d'un flambeur?
4) Quelle est la durée moyenne d'une partie d'un calculateur?
5) Si je reçois 42% de flambeurs et et 68% de calculateurs, quelle est mon espérance de gain par heure par table si je mets le prix d'entrée minimum et qu'on compte 5 minutes par partie (le temps de s'installer et de récupérer son gain) et 10 secondes par tour?
Après avoir résolu le problème lui même, le propriétaire du casino (moi, dans une autre vie) se rend compte que les parties sont beaucoup trop rapides et décide de modifier légèrement le jeu :
Il se joue maintenant avec deux dés (5 faces de numérotées de 1 à 5 et une face tête de mort).
Comme précédemment le joueur peut s'arrêter quand il veut.
S'il joue,
- Si les deux têtes de mort sortent, la partie s'arrête et les gains sont perdus;
- Si une tête de mort sort, il n'y a pas de gain supplémentaire mais la partie continue;
- Sinon le joueur gagne la différence entre le plus grand chiffre et le plus petit chiffre.
Le propriétaire du casino espère attirer plus de joueurs (et se faire plus d'argent) avec cette version du jeu 
Bonsoir Littlefox
J'ai plusieurs questions
1) le gain optimal concerne t'il l'espérance de gain pour une partie?
2) qu'est-ce que le prix d'entrée?
3) quelle est la durée d'une partie?
@ming
Merci de t'intéresser à ma petite énigme 
1) Le gain optimal et le gain auquel il faut s'arrêter pour maximiser l'espérance de gain.
Par exemple si je ma stratégie est de m'arrêter quand la somme de mes gains vaut 31 en moyenne je gagne 7.5 (nombres fictifs). Alors mon gain optimal est 31 et mon espérance de gain est 7.5.
2) C'est le prix que le casino fait payer en début de partie pour pouvoir jouer. Le prix minimum est égal à l'espérance de gain de la meilleure stratégie pour assurer des bénéfices au casino.
3) C'est le nombre de lancés de dés moyen avant que le joueur sorte de la partie (éliminé ou avec ses gains).
En espérant que c'est plus clair maintenant
Je n'ai plus eu de réponse depuis un bout de temps. Je ne sais pas où tu en es ming mais j'avais envie de sortir mes résultats.
Tout d'abord, voici les gain en fonction des jet de dés :
x 1 2 3 4 5
x x 0 0 0 0 0
1 0 0 1 2 3 4
2 0 1 0 1 2 3
3 0 2 1 0 1 2
4 0 3 2 1 0 1
5 0 4 3 2 1 01) Le gain optimal du joueur est quand son espérance est nulle. Soit g le gain optimal.
Il y a 1:36 chance de le perdre et 35:36 de continuer. Si on continue l'espérance est de 40/35 = 8/7.
On a donc g/36 = 8/7*35/36 => g = 40.
La stratégie optimale consiste à s'arrêter dès que le gain amassé dépasse 40.
2) On va donc calculer l'espérance de gain quand on s'arrête dès que le gain dépasse 40 en partant d'un gain de 0.
Soit
On a
On obtient
Le casino doit donc mettre un prix d'entrée supérieur à
3) Le flambeur a 1:36 chance d'être éliminé à chaque tour,son nombre de tours suit donc une loi exponentielle.
Le flambeur joue en moyenne 36 tours
4) De la même façon que pour la 3), on va partir du cas où le gain dépasse 40 pour revenir à l'espérance quand on démarre à 0. On a :
On obtient
5) Avec 42% de flambeurs et 58% de calculateurs la partie dure en moyenne
L'espérance de gain est de
Le casino gagne donc 39.2598 par heure par table.
Voilà, voilà
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