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Niveau première
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Le croissant d'or

Posté par
Othnielnzue23
06-11-19 à 23:05

Bonsoir à tous mon professeur de maths m'a donné un exercice que je trouve un peu trop compliqué . Je souhaiterais que vous m'aidez à le faire merci d'avance.

Le plan est muni du repère (O,I,J).

On considère une plaque homogène d'épaisseur constante , formée du disque de centre O et de rayon 1 , auquel on a enlevé un disque , de rayon r , tangent intérieurement en I au précédent .

1) Déterminer ,en fonction de r , la position du point G , de centre de gravité de cette plaque .


2) Calculer r pour que le point G soit exactement sur la <<frontière>>entre les deux disques.

Merci d'avance .

Posté par
JFF
re : Le croissant d'or 06-11-19 à 23:22

Bonjour

Comme d'hab : qu'as tu fait ?

Je suis nouvelle sur tes sujets mais j'ai regardé ton historique

Tu ne pourrais pas apprendre à résoudre un exercice en te posant les bonnes questions ?

Qu'est ce qu'on me demande ?
Qu'est ce que je sais de la situation ?
Quels sont les outils à ma disposition dans cette situation ? (définitions , propriétés, théorèmes .....)
Parmi ces outils lesquels pourraient être utiles ? Lesquels éliminer ?  

Quand tu auras fait cet exercice de réfléxion, tu auras fait un grand pas vers  l'autonomie dans la résolution de tes exercices

Tu arriveras peut-être à résoudre un exercice sans béquille . On a confiance en toi !

Allez tu vas y arriver. Il suffit que tu le décides et le veuilles.

Ta puissance est en toi

Courage, tu veux y arriver, alors tu vas apprendre à réfléchir. Tu as un cerveau non ?

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 06-11-19 à 23:43

Oui j'essaie mais c'est difficile ,si vous avez quelques solutions à me proposer je serais très content et merci .

Posté par
JFF
re : Le croissant d'or 07-11-19 à 00:01

Mes solutions : répondre aux questions

Qu'est ce qu'on me demande ?
Qu'est ce que je sais de la situation ?
Quels sont les outils à ma disposition dans cette situation ? (définitions , propriétés, théorèmes .....)
Parmi ces outils lesquels pourraient être utiles ? Lesquels éliminer ?

Donc réfléchir au lieu de cherche une méthode qui marcherait à tous les coups et qui n'existe pas

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 07-11-19 à 00:03

OK merci beaucoup .

Posté par
co11
re : Le croissant d'or 07-11-19 à 00:09

Bonsoir .... mais je ne vais pas rester ce soir
je dirais que le centre de gravité de la première plaque est O, celui de la plaque ôtée est le centre A de ce disque (dépendant de r)
Ensuite c'est une histoire de barycentre.
l'épaisseur étant constante, les masse des disques sont proportionnelles à leurs aires.
Bon courage.

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 07-11-19 à 00:23

OK et merci à toi .

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 20:06

1) Soit OB le rayon du cercle initial . et on retire un autre cercle de rayon r  de celui ci .

Alors OB r²?

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 20:06

Oups  OB= r²

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 20:34

OB = r² ?? Que veux-tu exprimer ?

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 21:05

Le rayon du cercle initial en fonction de rayon du cercle retiré .

Posté par
ty59847
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 22:00

Tu cherches à exprimer le rayon du cercle initial en fonction du cherche retiré.

1. on ne te le demande pas.

2. il n'y a aucune formule qui permettra de trouver le rayon du cercle initial en fonction du cercle retiré. Peut être que le cercle central est un peu plus grand que le cercle retiré, peut-être qu'il est 4 fois plus grand ... on n'a aucune information sur la taille du petit par rapport au grand. On sait juste qu'on a un cercle qui est plus petit que l'autre.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 22:40

Bonjour

Le rayon du cercle disque initial est 1 c'est écrit dans l'énoncé !!

le problème c'est ça (un dessin valant mieux qu'un long discours):

Le croissant d\'or

du disque de rayon unité fixe, on retire le disque de rayon r variable, tangent en I au disque unité fixe, donc disque variable de centre A avec AI = r

la plaque qui reste est en jaune
et on en cherche le centre de gravité G en fonction de r

il a déja été dit

Citation :
je dirais que le centre de gravité de la première plaque est O, celui de la plaque ôtée est le centre A de ce disque (dépendant de r)
Ensuite c'est une histoire de barycentre.
l'épaisseur étant constante, les masse des disques sont proportionnelles à leurs aires.

donc déja on calcule ces aires
aire du disque initial de rayon 1 ...
etc

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 22:45

OK monsieur il va falloir donc calculer l'air du disque d'abord .

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 22:51

l'aire des disques , de chacun d'eux

c'est ces aires qui seront les "poids" pour le calcul du barycentre.

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 22:56

OK monsieur je commence par celui qui est en jaune.

A=π×r≈ 3,14×1≈3,14

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 22:57

Mais je ne sais pas comment faire pour calculer l'aire de celui qui a été retiré.

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 23:00

Sinon l'aire d'un cercle c'est πr ² mais bon ... comme  r=1 ici

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 23:17

récite moi sérieusement la formule de l'aire d'un disque en général
celle que tu as écrite est fausse (et en plus illisible à vouloir finasser des mises en italique inutiles)
au besoin va réviser les cours de collège.

et on laisse π écrit π et rien d'autre.

pour le disque à retirer c'est réciter cette même formule (correctement) avec le rayon écrit r et rien d'autre (et toujours π écrit π et rien d'autre
ç'est bien son aire en fonction de son rayon r

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 23:19

OK pour la correction de la formule entre temps
les autres remarques sont valables

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 23:22

Mais l'aire d'un disque c'est : π×r ²

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 23:24

mathafou @ 09-11-2019 à 23:19

OK pour la correction de la formule  entre temps
les autres remarques sont valables
ok monsieur .

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 23:32

Donc l'aire du disque en jaune est ≈3,14

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 09-11-19 à 23:33

Donc l'aire de l'autre cercle aussi est ≈3.14 non ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 00:15

grand disque (qui n'est PAS en jaune ni en blanc ni en rien du tout) de rayon 1
aire = π 1² = π point FINAL
on laisse π écrit π et rien d'autre

petit disque de rayon r
aire = π r² point FINAL
c'est bien l'aire de ce disque en fonction de son rayon r NON ???
jamais tu n'as fait de calcul littéral depuis des années ???
ni ne comprends ce que veut dire l'expression "en fonction de" ??

maintenant qu'on a les deux aires π et πr² (écrites comme ça et rien d'autre) on va parler barycentres

si on considère qu'on ne fait que découper le petit disque sans le retirer
l'ensemble du croissant (en jaune !) et du petit disque toujours en place, c'est le grand disque inchangé

donc le centre de gravité du disque plein (qui est O !!) est le barycentre du centre de gravité G cherché du croissant, avec comme poids l'aire du croissant
et du centre de gravité A du petit disque qu'on n'a pas encore retiré, avec comme poids l'aire de ce petit disque

je te laisse soit faire les calculs directement avec ça et la position de G d'abscisse x inconnue
pour aboutir à x = .. en fonction de r.

soit traduire ça par associations de barycentres en :
G est le barycentre de O avec comme poids l'aire du grand disque
et de A avec comme poids l'opposé (car on retire) de l'aire du petit disque

je laisse la main. d'ailleurs il se fait tard...

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 06:58

OK merci monsieur.

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 07:04

Donc G=bar{(O,πr²); (A,-πr²)}

Posté par
ty59847
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 10:03

Là, tu dis que G est le barycentre de O et A, avec les mêmes poids, au signe près.
Tu considères donc que les 2 disques ont la même surface.  Sur le superbe dessin animé de mathafou, on voit pourtant un disque plus grand que l'autre.

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 10:11

Ah oui c'est une erreur .

G=bar {(O,πr²) ; (A,-π)}

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 10:13

Non il un signe qui les différencie.

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 14:54

Tu pourrais aussi écrire que le point O est le barycentre des points A et G, avec le poids du petit disque pour A et le poids du croissant pour G.

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 15:40

G=bar {(O,πr²) ; (A,-π)}<=>
O= bar {(G,πr²), (A,πr²)}

Donc O est isobarycentre de G et A .

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 17:23

L'aire du petit disque, de centre A, est bien égale à r² .
Mais l'aire du croissant n'est pas égale à r² .
A quoi est égale l'aire du croissant ?

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 17:28

C'est égale à πGA²

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 17:31

C'est égale à πGI²

Posté par
ty59847
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 17:36

Le croissant, c'est la surface qui est dans le grand disque, mais pas dans le petit.
Et le petit disque, il est tout entier dans le grand disque.
L'aire du croissant, c'est donc l'aire du grand disque, moins l'aire du petit disque.

Ok ?   Maintenant, il faut traduire ça avec des formules, ça va encore être une galère !

L'aire du grand disque, c'est quoi ? ...
L'aire du petit disque , c'est quoi ? ...
Et du coup, la différence entre c'est 2 aires , c'est ...

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 17:45

Donc l'air du grand disque est : πOI²

Celui du petit est : πr²

Donc l'air du croissant est πOI²-πr²

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 17:56

Oui.
Réécris donc la relation barycentrique  O = bar . . .

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 18:06

Ok monsieur  donc O= bar {(I,πr²), (A,-πr²)}

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 18:10

Non, on cherche à définir O comme barycentre de G et de A .

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 18:19

Ah oui c'était une erreur de frappe de ma part .

O= bar {(G,πr²), (A,-πr²)}

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 18:21

Tu as donné les bons poids à 17h45 et tu ne les reprends pas !

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 18:35

l'air du grand disque est : πOI²

Celui du petit est : πr²

l'air du croissant est πOI²-πr²

O=bar {(A,πr²) ; (G,πOI²-πr²)}

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 19:43

Oui.
Remplace OI² par 1, puis écris la relation vectorielle correspondante.

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 20:00

OK monsieur .

O=bar {(A,πr²) ; (G,π²-πr²)}

\vec{AO}=  π²-πr²/πr²  \vec{AG}

<=> \vec{AO}=  π-r²/r²  \vec{AG}

<=> \vec{AO}= π-1\vec{AG}

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 20:05

Ecris plutôt
vec OA *poids du petit disque + vec OG * poids du croissant = 0 .

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 20:12

πr² \vec{OA}+πr²-πr²\vec{OG}=\vec{0}

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 20:54

C'est presque bien.
Tu aurais dû écrire   r²OA + (OI² - r²)0G = 0 .

Reste à simplifier par   , remplacer OI² par 1 et isoler OG.

Posté par
Othnielnzue23
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 21:30

OK monsieur .

πr²\vec{AO}+(π\vec{OI}-πr²) \vec{OG}=\vec{0}

simplification de π

\vec{OA}+(1-r²)[tex]\vec{OG}=\vec{0}
 \\ 
 \\ r²[tex]\vec{OA}=-(1-r²)\vec{OG}

\vec{OA}=(-1+r²)\vec{OG}

\vec{OG}=r²/(-1+r²)\vec{OA}

\vec{OG}=-\vec{OA}

Posté par
Priam
re : Le croissant d'or 10-11-19 à 22:13

L'avant-dernière ligne est juste.
La dernière ??

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