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Niveau 3 *
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Le cylindre flottant.***

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
19-08-05 à 09:47

Un cylindre de bois d'une section de base de 4000 cm² et d'une hauteur de 50 cm flotte sur de l'eau douce.

Sachant que la masse volumique du bois est de 800 kg/m³ et celle de l'eau douce de 1000 kg/m³, quel est le travail minimum effectué pour juste sortir le cylindre en bois de l'eau ?

La réponse sera donnée en Joules.

Dans les calculs, l'accélération de la pesanteur sera prise égale à 10 m/s² (10 N/kg pour celui qui préfère).
-----
Bonne chance à tous.


Le cylindre flottant.

Posté par
alfred15
re : Le cylindre flottant.*** 19-08-05 à 10:33

gagnéBonjour

Je pense que la travail minimum de la force est

W_{min}=-320J

Merci pour l'énigme

Posté par
jugo
Je nage un peu, c est sûr, mais est-ce que je flotte ? 19-08-05 à 15:45

gagnéJ'appele Hc la hauteur du cylindre, S la surface de la base du cylindre, Ho la distance entre la surface de l'eau et la base du cylindre quand celui-ci flotte dans l'eau verticalement.

Quand le cylindre flotte, il y a égalité entre son poids Pc = 800 g.S.Hc et la poussée qu'il subit sur sa base = 1000 g.S.Ho (volume de l'eau déplacée)

D'où Ho = 0,8 Hc
( Ce qui confirme aussi que le cylindre flotte bien à la verticale puisque son centre de gravité se trouve sous la surface de l'eau, mais ça ne change rien au résultat de toute façon )

Si on soulève le cylindre verticalement, puisque la force est exercée suivant la direction et le sens du déplacement, on fournit un travail = distance * force ( mais je ne suis pas très sûr de la définition du travail en fait).

Or, cette force varie linéairement de 0 à Pc quand on soulève le cylindre, donc on peut assimiler la force exercée pendant le levage à Pc / 2 :

W = Ho . Pc / 2

Ho = 0,8 Hc = 0,8 . 0,5 = 0,4 m
Pc = 800 . g . S . Hc = 800 . 10 . 0,4 . 0,5 = 1600 N

W = 1600 . 0,4 / 2

W = 320 Joules

Posté par
la_brintouille
re : Le cylindre flottant.*** 19-08-05 à 16:25

gagnéBonjour,
étant donné la complexité des calculs si le cylindre n'est pas "debout" dans l'eau, je considère qu'il est "debout" (base horizontale).
à chaque instant, la force exercée pour le soulever compense exactement le poids et la poussée d'archimède.
Si H est la hauteur du cylindre, h la hauteur initiale de la partie immergée, S la surface de la base, F la force excercée vers le haut, l la hauteur de laquelle on a soulevé, M la masse volumique de l'eau:
h=0.8H
F dl = lMSg dl
On intègre entre 0 et h
W = 1/2 h^2 MSg = 0.32 H^2 MSg
W = 320 J

Posté par papanoel (invité)re : Le cylindre flottant.*** 19-08-05 à 16:34

perduSalut,
si je me trompe pas comme j en ai pris l habitude, c est 640 J
@+ et vive le

Posté par
Nofutur2
re : Le cylindre flottant.*** 19-08-05 à 17:58

gagnéJ'ai trouvé sur un bouquin les coordonnées du centre de gravité d'un cylindre tronqué (H,R,alpha).
A partir de la base, on  h = H/2 +R2*tan(alpha)/(8*H)
A partir de l'axe , x=R*2tan(alpha)/(4*H)

Ce qui donne une stabilité d'un cylindre sur sa base pour r/h > = 0,56, dans le cas d'un rapport de densité de 0,8.
Comme ici r/h = 0,71 , le cylindre est bien stabilisé sur sa base circulaire.

Ouf, le calcul du travail est un peu plus simple dans ce sens….!!!

Si rb et re sont  les masses volumiques du bois et de l'eau et x la hauteur émergée.:

P = rb*S*h*g
F = Force d'Archimède = re*S*(h-x)*g

W =( integrale de 0,2h à h) (P-F) dx
W =  rb*S*h*g (h-0,2h) - re*S*g *h (h-0,2h)+ re*S*g*1/2*(h2-0,04h2)
W = rb*S*g (0,8*h2) - re*S*g *0,8*h2+ re*S*g* (0,48h2)
W = S*h2*g*(0,8*rb-0,32*re)
W = 0,4 * 0,52*10*[(0,8*0,8)-(0,32*1)]*103
W = 40*25*(0,64-0,32) = 320 J

Posté par
piepalm
re : Le cylindre flottant.*** 19-08-05 à 18:19

gagnéLe volume du cylindre est de 0,2 m^3 et sa masse de 160 kg; le diamètre est de 71,4 cm. Il n'est pas indiqué la façon dont le cylindre flotte, mais comme sa hauteur est inférieure au diamètre il semble naturel qu'il flotte avec son axe vertical.
S'il flotte avec son axe vertical, il s'enfonce alors de 40 cm. La force à fournir pour le sortir de l'eau croit linéairement en fonction du déplacement, de 0 au poids du cylindre. Le travail à fournir est donc le même que pour un déplacement du poids de la moitié du déplacement soit 320 J.

S'il flotte avec son axe horizontal, soit 2a (en rd) l'arc émergé d'une section circulaire. la part de volume immergée est alors 1-(a-sin(2a)/2)/pi, et le rapport de la hauteur immergée au diamètre (1+cosa)/2. Pour 80% de volume immergé on a approximativement a=pi/3 et 75% du diamètre immergé. Le centre de gravité se trouve alors à plus de 17 cm au dessous du niveau de l'eau contre 12,5 cm dans le premier cas. On a donc tout lieu de penser (et on peut le vérifier en calculant l'intégrale) que le travail nécessaire sera dans ce cas supérieur.

Posté par
alfred15
re : Le cylindre flottant.*** 19-08-05 à 21:02

gagnéVoici une explication de ma réponse :

W=\int_{}{}dW
W=\int_{h=h_{eq}}^{0}F.dh

Calcul de h_{eq} :
h_{eq}.S.\rho=H.S.\rho'
h_{eq}=H.\frac{\rho}{\rho'}=0,4m

Expression de F :
F=(\rho'.H.S-\rho.h.S).g
F=S.g.(\rho'.H-\rho.h)

W=\int_{0,4}^{0}S.g.(\rho'H-\rho.h).dh
W=S.g.[\rho'.H.h-\frac{1}{2}.\rho.h^2]_{0,4}^{0}

W=-320J

Le cylindre flottant.

Posté par
alfred15
re : Le cylindre flottant.*** 20-08-05 à 08:28

gagnéLe signe " - " du résultat montre qu'il faut fournir de l'énergie au cylindre pour le remonter

Posté par
jugo
Point trop n en faut. 21-08-05 à 11:48

gagnéAvant de ma faire incendier :
J'ai raconté n'importe quoi sur le fait que le cylindre flotte verticalement (je raisonne bizarrement des fois). Enfin bon, l'étude de ce cas donne la solution pour tous les cas je crois, tant que le truc qui flotte a le même poids et le même volume que le cylindre. (peut-être viens-je à nouveau d'écrire une énormité...)

Posté par
lyonnais
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 00:55

perdusalut J-P et bonjour à tous :

1ère partie    On a :

volume cylindre = 0,5 x 0,4 = 0,2 m3
masse cylindre = 0,2 x 800 = 160 kg
poids cylindre = 1600 N

Le cylindre flotte, donc P + PA = 0

PA = mg

donc le volume du poids d'eau déplacé est de : 160.g

La masse M du volume d'eau déplacé est donnée par 160.g = M.g  => M = 160 kg

160 kg d'eau a donc un volume de 160 dm3

la section du cylindre est de : 40 dm²

la hauteur immergée est donc de h = 160/40 = 4 dm = 0,4 m

( et donc la hauteur émergée est de 0,1 m )

2ème partie  ( et c'est là que le poisson va arriver je pense )

volume sous l'eau = 0,4 x 0,4 = 0,16 m3
masse sous l'eau = 800 x 0,16 = 128 kg
poids sous l'eau = 1280 N

on en déduis donc le travail a effectué :

W = poids sous l'eau x déplacement
W = 1280 x 0,4
W = 512 N

sauf erreur ... ( ce qui est plus que probable )
en espérant ne pas me ridiculiser comme pour l'énigme du toboggan

merci pour l'énigme
romain

Posté par
lyonnais
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 10:11

perduoups, j'ai encore un doute

je viens de me réveiller, et je ne me souviens plus si j'ai mis une unité àprès 512

Ma réponse est bien sur  W = 512 Joules

j'espère ne pas mettre litéralement planté !

romain

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 16:07

Enigme clôturée.

Et dire que si Archimède n'avait pas existé, le bois ne flotterait pas ...



Posté par
rene38
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 16:55

perduVolume du cylindre de bois = 200 000 cm3 = 200 dm3
Poids du cylindre de bois = 200x0,800x10 = 1 600 N
Volume d'eau déplacée = 160 000 cm3
Etant donné les dimensions du cylindre, ses bases sont horizontales.
Hauteur immergée = 160 000 / 4 000 = 40 cm = 0,4 m
Travail minimum effectué pour sortir le cylindre en bois de l'eau = 1 600 x 0,4 = 640 J

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 17:03

Pas de chance, rene38, j'ai oublié de fermer l'énigme et dans l'entre temps, tu as donné une mauvaise réponse.

Maintenant je vais vraiment clôturer l'énigme.




Posté par
lyonnais
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 17:09

perduJ-P , comme d'habitude, j'ai une question a te poser

Où ai-je fais une erreur dans ma réponse ?

romain

Posté par
la_brintouille
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 17:20

gagné> jugo le 21 à 11h48
l'étude de ce cas donne la solution pour tous les cas je crois, tant que le truc qui flotte a le même poids et le même volume que le cylindre. (peut-être viens-je à nouveau d'écrire une énormité)

Effectivement, imagine que ce cylindre possède une excroissance très longue et très fine (de volume négligeable) dirigée vers le bas. Il faudra tirer le cylindre très haut pour totalement le sortir de l'eau, donc fournir beaucoup plus de travail...

En fait (que quelqu'un me corrige si je me trompe) je pense que les positions "debout" et "couchée" du cylindre sont des positions d'équilibre instable. Le cylindre possède une position d'équilibre stable intermédiaire, pour laquelle son centre de masse et celui de la partie immergée sont sur la même verticale; et cette position tend vers l'une des 2 précédentes quand le rapport rayon/hauteur tend vers 0 ou l'infini.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 17:28

Salut lyonnais,

Si tu soulèves le bois d'une distance x, la force à accomplir à cet endroit est égale à la diminution de la poussée d'Archimède entre les positions où l'objet flotte et la position donnée par x.

Cette force est égale au poids du volume d'eau équivalent au volume de bois sorti en plus par rapport à la position où il flotte.
F = Section * x * masse volumique de l'eau * g =  4000.10^-4.x.1000.g = 4000x Newton.

Cette force varie évidemment pour chaque valeur de x et il faut donc que le calcul du travail en tienne compte.

x varie de 0 à 0,4 m comme tu l'as trouvé.

On a donc W = \int_0^{0,4}. F dx = \int_0^{0,4}. 4000.x dx = 2000 .[x^2]_0^{0,4} = 2000*0,4^2 = 320\ Joules.
-----


Posté par
lyonnais
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 17:34

perduok merci J-P , t'es vraiment trop sympa, j'ai tout compris à présent

romain

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 18:01

Pour savoir dans quelle position va flotter un objet.

On le dessine dans une position quelconque mais avec le bon volume immergé.
On cherche la position du centre de gravité de l'objet, en ce point on applique le poids vertical vers le bas.

On cherche la position du centre de gravité de la partie immergée, en ce point on applique la poussée d'Archimède (dont l'amplitude est égale au poids) verticale vers le haut.

Si les centres de gravité mentionnés ci-dessus ne sont pas sur la même verticale, on voit qu'il existe un couple qui fait "basculer" l'objet jusqu'à ce que ce couple s'annule.

On peut ainsi trouver dans quel direction et sens va basculer l'objet et finalement trouver quelle est la position de "flottaison" de l'objet.

Je ne sais pas si j'ai été clair.




Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 18:29

Je n'ai pas été suffisamment complet dans mon intervention précédente.

Lorsqu'on cherche la position du centre de gravité du volume immergé, on doit considérer ce volume comme homogène même si il ne l'est pas.


Posté par
jugo
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 18:29

gagnéC'est très clair pour moi, mais qu'est-ce qui peut empêcher le cylindre de flotter "horizontalement", les centre de gravité étant également alignés dans ce cas ?
Et que devient alors le travail à fournir pour sortir le cylindre de l'eau ?

Posté par
Nofutur2
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 18:37

gagnéSalut J-P

Je ne suis sûr d'être totalement d'accord avec toi quant à la position de l'objet (ou alors je n'ai vraiment pas compris ton message). Pour moi, c'est un peu plus compliqué .

Dans les deux positions, les points d'applications du poids et de la FA sont sur la même verticale!!! Seulement dans un cas, l'équilibre est stable et l'autre instable. C'est pourquoi un tronc flotte sur sa hauteur et une rondelle de bois sur sa base.

J'ai pris le cylindre en position sur sa base et je l'ai décalé d'un angle infinitésimal (alpha), d'où l'utilité des coordonnées d'un cylindre tronqué.
J'ai ensuite comparé la position de P et de FA (l'un à droite de l'autre !!) en assimilant tan(alpha) à alpha et en négligeant (alpha )2..d'où mon coeff de 0,56 pour une densité de 0,8....

Le calcul de W dans l'autre sens était assez costaud !!!

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 19:13

Oui Nofutur2

On peut aussi théoriquement poser une aiguille verticalement sur un table, mais il est fort à parier qu'elle n'y resterait pas longtemps.

Il y a 2 positions d'équilibre pour le cylindre proposé dans l'exercice. Un équilibre stable et un équilibre instable.

Dans l'exercice proposé, l'équilibre stable est celui qui amenait un calcul facile.

Si le cylindre de l'exercice venait à flotter dans son équilibre instable, le moindre moucheron posé dessus, le moindre gargouillement dans l'eau, la moindre vibration provoquée par un camion passant à 1 km de là ... et le bois repartirait vers son équilibre stable et y resterait ad vitam eternam.

Le bois dans sa position instable est une position théoriquement possible, pratiquement cela n'arrivera jamais, tout comme une aiguille (non piquée ) verticale sur une taille

Si on veut néanmoins calculer le travail dans ce cas, le calcul est en effet plus corsé.


Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 19:14

Lire "sur une table" et pas "sur une taille"

,)

Posté par
Nofutur2
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 19:44

gagnéMerci J-P

J'ai bien compris ce qu'est un équilibre instable.

Mon message visait simplement à exprimer qu'a priori rien ne disait dans l'énoncé, dans quel sens flottait le cylindre (c'est à dire quelle était sa position d'équilibre stable) et que cela dépendait de la densité et du rapport R/h.
J'expliquais comment j'avais fait ce calcul..(sans être très sûr de moi!!).
En tout cas, à cause de cette incertitude, je l'ai aurais mis 4 étoiles à cette énigme.

Salut.

Posté par
jugo
re : Le cylindre flottant.*** 22-08-05 à 22:20

gagnéMerci à la_brintouille, J-P et Nofutur2 pour les explications et à J-P pour l'énigme qui les a amenées !
Finalement, j'ai eu un peu de chance de répondre correctement. La chance du débutant certainement puisque je ne participe à ce forum que depuis peu...
A bientôt, donc, pour un poisson bien mérité.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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