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Le défilé, suite...

Posté par
littleguy
13-04-16 à 21:09

Bonjour,

Vous vous souvenez peut-être du « défilé au cordeau », ici : .
Voici la suite (indépendante de l'épisode précédent).

Le supérieur revient à la charge auprès de son subordonné :

   - En ce qui concerne le défilé j'ai proposé votre schéma à l'organisateur général et il l'a approuvé, mais ensuite il m'a mis dans l'embarras : il m'a demandé combien de possibilités d'organisation existeraient si vous et votre groupe de 15, donc 16 hommes en tout,  deviez défiler par rangées comportant le même nombre d'individus. Que vous lui auriez-vous répondu ?

   - Si on considère à l'extrême qu'on peut défiler un par un ou contraire tous sur un même rangée je pense que cela doit faire 5 possibilités.

   - C'est ce que je lui ai dit et il ne m'a pas contredit. Mais ensuite il m'a précisé que si tous les groupes du défilé étaient rassemblés en un seul  il y aurait alors dans ce cas 64 possibilités théoriques et m'a demandé d'en déduire le nombre de participants. Vous pouvez m'aider ?

   - On a un ordre de grandeur du nombre de participants ?

   - Je sais seulement qu'il y en a moins de 15000. Qu'en pensez-vous ?

- ...

Aidez-les à répondre précisément à l'organisateur.

Posté par
masab
re : Le défilé, suite... 13-04-16 à 21:24

gagnéBonjour littleguy,

Le nombre de participants est 13440 (puisqu'il y en a moins que 15000).

Merci pour cette énigme !

Posté par
torio
re : Le défilé, suite... 13-04-16 à 21:32

gagné13440
Si tous les groupes comportent 16 hommes.

Si groupes de différentes tailles alors plusieurs possibilités :

7560
9240
10920
11880
13440
14040
14280

Posté par
trapangle
re : Le défilé, suite... 13-04-16 à 21:34

gagnéBonjour,

Il y a plusieurs possibilités. Le nombre total de participants au défilé peut être de :
7560, 9240, 10920, 11880, 13440, 14040 ou 14280. (Merci l'OEIS)

Merci littleguy, bonne soirée.

Posté par
Nofutur2
re : Le défilé, suite... 13-04-16 à 21:40

gagnéJe trouve 7 possibilités inférieures à 15000.
Il s'agit de 7560, 9240,10920, 11880, 13440, 14040, et 14280.
Il suffit de vérifier que le nombre de diviseurs est égal à 64..

Posté par
manitoba
re : Le défilé, suite... 13-04-16 à 21:55

perduBonsoir LittleGuy,

Si j'ai bien compris le problème, je dirai
le nombre de participants est 7560.
Merci pour l'énigme.

Posté par
jonjon71
re : Le défilé, suite... 13-04-16 à 22:34

perduBonjour,

Voici ma réponse :

Il y a 7 560 participants.

Il faut trouver un nombre inférieur à 15 000 qui a exactement 64 diviseurs. Je propose donc 2^3\times3^3\times5\times7 = 7 560.

Merci

Posté par
pondy
re : Le défilé, suite... 13-04-16 à 23:28

gagnéBonjour
Je pense qu'il faut chercher les entiers inférieurs à 15000 qui ont exactement 64 diviseurs.
Il y a 7 solutions pour le nombre de participants:
7560
9240
10920
11880
13440
14040
14280

Posté par
carita
re : Le défilé, suite... 13-04-16 à 23:44

perdubonsoir

je sens que je vais m'attraper un poisson sur ce coup-là… mais je tente  

cela revient à chercher un nombre N inférieur à 15000, et qui admet 64 diviseurs.

si je fais la décomposition de N sous la forme Aa * Bb * Cc….. ----- A, B, C… étant nombres premiers,
le nombre de diviseurs est t = (a+1)(b+1)(c+1)    :   ici, on doit avoir t = 64

réponse à l'organisateur :

il y a 5 nombres de participants, nombres qui répondent tous à la condition "64 diviseurs et inférieur à 15000" :

23 * 33 * 51 * 71  = 7560             --- 4*4*2*2  = 64 diviseurs
23 * 31 * 51 * 71 * 111 = 9240   --- 4*2*2*2*2
23 * 33 * 51 * 111  = 11880         --- 4*4*2*2
27 * 31 * 51 * 71  = 13440           --- 8*2*2*2
23 * 33 * 51 * 131  = 14040         --- 4*4*2*2

le plus proche de 15000 est 14040.

merci Littleguy !

Posté par
rschoon
re : Le défilé, suite... 13-04-16 à 23:44

gagnéBonjour à tous.

Je trouve 7 solutions : 7560, 9240, 10920, 11880, 13440, 14040 et 14280.

Merci pour l'énigme.

Posté par
Chatof
re : Le défilé, suite... 14-04-16 à 03:05

gagné13440


Merci

Posté par
dpi
re : Le défilé, suite... 14-04-16 à 10:18

perduBonjour,

J'ai compris beaucoup plus vite  que  les impairs divisibles par 5!!!
Il y a  14280 participants pour 64  "rectangles"  en formation.

Posté par
geo3
re : Le défilé, suite... 14-04-16 à 13:41

perduBonjour
Je pense que la réponse est 7560
Merci
A+

Posté par
Lionelink
re : Le défilé, suite... 14-04-16 à 14:37

perduIl y a 9240 participants.

Merci pour cette énigme.

Posté par
royannais
re : Le défilé, suite... 14-04-16 à 15:20

perduIl peut y avoir 10920 participants permettant 64  possibilités allant de une rangée de 10920 individus à 10920 rangées de 1 individu en passant par 104 rangées de 105 individus et 105 rangées de 104 individus.

Il peut également y avoir 9240 participants permettant 64  possibilités allant de une rangée de 9240  individus à 9240 rangées de 1 individu en passant par 88 rangées de 105 individus et 105 rangées de 88 individus.

merci pour cette énigme

Posté par
AllEn
re : Le défilé, suite... 15-04-16 à 01:22

perduBonsoir,
Il y a 9240 participants.

Posté par
franz
re : Le défilé, suite... 15-04-16 à 09:06

gagnéIl y a \large \red13440 participants.

En effet, en écrivant la décomposition du nombre de participants n en facteurs premiers n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_m^{\alpha_m}, le nombre de ses diviseurs distincts vaut (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots (\alpha_m+1). Il faut donc que  (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots (\alpha_m+1)=64

De plus, le défilé étant formé de plusieurs groupes (que j'ai supposé de même cardinal), la décomposition en facteurs premiers de n impose que 16 divise n c'est-à-dire que  p_1=2 et \alpha_1\geqslant 4

Comme \alpha_1+1 divise 64, \alpha_1\in\{7,15,31,63\} mais comme  2^{15}=32765>15000, \alpha_1=7

On en déduit que (\alpha_2+1)\times\cdots \times(\alpha_m+1)=8  (avec \forall i \in [[2,m]], \;\alpha_i\geqslant 1)

On est donc dans un des 3 cas suivants
\red \qquad\bullet   m=4     et     \alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=1
\red \qquad\bullet   m=3     et     \alpha_2=3,\quad\alpha_3=1
\red \qquad\bullet   m=2     et     \alpha_2=7


Le plus petit nombre que l'on puisse former dans le cas 1 est 3\times 5\times 7=105 qui conduit à n=2^7\times3\times 5\times 7=13440 qui convient (le terme suivant  2^7\times3\times 5\times 11=21120
 \\ est trop grand)

Le plus petit nombre que l'on puisse former dans le cas 2 est 3^3\times 5=135 qui conduit à n=2^7\times3^3\times 5=17280  (trop grand)

Le plus petit nombre que l'on puisse former dans le cas 3 est 3^7\times 5=2187 qui conduit à n=2^7\times3^7=279936
 \\   (beaucoup trop grand)

Posté par
LittleFox
re : Le défilé, suite... 15-04-16 à 10:13

gagné
Il y a 13440 participants.

Le nombre de possibilité d'organisation est simplement le nombre de diviseur du nombre de participants. 16 a 5 diviseurs (1,2,4,8,16).
Le seul nombre plus petit que 15000 avec un nombre de diviseurs égal à 64 et multiple de 16 (on suppose que chaque groupe contient 16 personnes) est 13440. Soit 840 groupes de 16 personnes.

Si on considère que les groupes ne contiennent pas nécessairement 16 personnes (ce n'est pas vraiment explicite dans l'énoncé) alors on a 7560, 9240, 10920, 11880, 13440, 14040 ou 14280 participants.

Posté par
akub-bkub
re : Le défilé, suite... 15-04-16 à 13:16

perduSlt à tous

Il faut répondre à l'organisateur que c'est impossible, qu'il a du se tromper dans ses appréciations.

Bien à vous tous

Posté par
sbarre
re : Le défilé, suite... 15-04-16 à 16:02

perduBonjour,

je dirais qu'il faut considerer que 64 est 2 puissance 6; que si on a k et k' des entiers premiers et n et n' des entiers, alors un groupe de kn*k'n' participants, il y aura (n+1)*(n'+1) possibilites d'organisation.

Il apparait que l'on ne peut se contenter d'un, deux ou trois nombres premiers k, mais qu'il faut un minimum de 4 d'entre eux (qui seront 2, 3, 5 et 7) pour permettre de diminuer le nombre de participants avec des puissances respectives de 3, 3, 1 et 1.

On a donc 23*33*51*71  participants avec 64 (4*4*2*2) possibilites d'organisation.

Neanmoins si on prend 5 entiers premiers en rajoutant 11, et avec les valeurs 3, 1, 1, 1 et 1 pour les puissances, on obtient 23*31*51*71 *111  participants avec 64 (4*2*2*2*2) possibilites d'organisation.

On 64 possibilites d'organisation dans chacun des cas, mais avec soit 7560 soit 9240 participants (tous les deux en dessous de 15 000.

On ne peut donc pas vraiment repondre a l'organisateur avec le nombre exact de participants mais seulement lui proposer plusieurs solutions...


petit aparte:

Citation :
Aidez-les à répondre précisément à l'organisateur
n'est pas vraiment une question adaptee pour une enigme, puisque l'on ne peut pas repondre precisemment. On peut aider sans donner la reponse exacte par exemple ...

Merci et a la prochaine.

Posté par
royannais
re : Le défilé, suite... 15-04-16 à 17:43

perduOn peut également trouver 64 possibilités avec  7560  ou 14040 participants ....

Posté par
veleda
re : Le défilé, suite... 16-04-16 à 00:48

gagnébonsoir ,
on cherche un nombre <15000 possédant 64 diviseurs,
en remarquant que
64 =(7+1)(1+1)(1+1)(1+1)
je trouve  que
2^7*3*5*7=13440  convient pour l'effectif de l'ensemble des groupes
merci pour ce petit  calcul

Posté par
Achdeuzo
re : Le défilé, suite... 16-04-16 à 20:48

gagnéBonsoir

Je pense que le nombre total de participants, tous groupes confondus, s'élève à 13 440.

C'est en effet le seul entier naturel :
- inférieur à 15 000
- multiple de 16
- ayant 64 diviseurs positifs

Merci pour cette énigme ! Trop

Posté par
royannais
re : Le défilé, suite... 17-04-16 à 18:20

perduencore un : 11880

Posté par
albatros44
re : Le défilé, suite... 24-04-16 à 19:32

perduBonjour

Une des solutions est 14280 hommes

Bonne journée

Posté par
jugo
re : Le défilé, suite... 27-04-16 à 17:26

gagnéBonjour,

Je suppose que tous les groupes du défilé ont 16 participants, parce que je trouve sinon plusieurs solutions.
Ma réponse est : 13440 participants (840 groupes de 16).

Si on considère que les groupes n'ont pas forcément tous 16 participants, il y a 6 possibilités:
7560, 9240, 10920, 11880, 13440 ou 14040 participants.

Merci.

Posté par
jugo
re : Le défilé, suite... 27-04-16 à 17:32

gagnéErreur de recopiage : il y a 7 possibilités sans la contrainte des 16 par groupe:
7560, 9240, 10920, 11880, 13440, 14040 ou 14280 participants.

Posté par
Leile
re : Le défilé, suite... 02-05-16 à 11:14

perdubonjour,

Il me semble qu'ils sont en tout 9240

(2*3*4*5*7*11 = 9240)
Merci !!

Posté par
littleguy
re : Le défilé, suite... 05-05-16 à 13:46

Bonjour,

Énigme clôturée.

Dans mon esprit les groupes n'avaient pas nécessairement le même effectif et ce que j'entendais par « répondre précisément » c'était donner toutes les possibilités, quelque chose du style « Monsieur,  il peut y avoir soit 7560, soit 9240, soit 10920, soit 11880, soit 13440, soit 14040, soit 14280 participants ».
Mais je conçois que « précisément » ait pu être interprété différemment, implicitement suggéré que la réponse était unique, et donc que les groupes avaient forcément le même nombre de participants.

Aussi, outre la donnée des sept possibilités, j'ai aussi accepté la seule donnée de 13440.
L'idéal étant bien sûr une réponse telle que celles de torio et LittleFox.

Dans le premier cas, une méthode est parfaitement donnée par Carita, mais qui malheureusement a oublié deux cas :
si je fais la décomposition de N sous la forme Aa * Bb * Cc….. ----- A, B, C… étant nombres premiers,
le nombre de diviseurs est t = (a+1)(b+1)(c+1)    :   ici, on doit avoir t = 64
23 * 33 * 51 * 71  = 7560            
23 * 31 * 51 * 71 * 111 = 9240  
23 * 31 * 51 * 71 * 131 = 10920
23 * 33 * 51 * 111  = 11880        
27 * 31 * 51 * 71  = 13440          
23 * 33 * 51 * 131  = 14040
23 * 31 * 51 * 71 *171  = 14280

Et comme l'a remarqué trapangle on peut trouver la liste  ici :    l

Dans le second cas le cheminement conduisant à  la réponse 13440 est clairement résumé par Achdeuzo.

Merci à tous !

Posté par
Chatof
re : Le défilé, suite... 05-05-16 à 15:07

gagnéIl y a aussi la solution de facilité avec XCAS ().
"Prg" "Nouveau programme"

f():={
  local j;
  sol:=[];  
  pour j de 1 jusque 15000 faire
    si size(idivis(j))==64 alors
      afficher(j,size(idivis(j)),idivis(j));
      sol:=append(sol,j);
    fsi
  fpour j;
  retourne sol;
}:;

[7560,9240,10920,11880,13440,14040,14280]

Posté par
trapangle
re : Le défilé, suite... 05-05-16 à 22:18

gagnéAh il y avait même une suite avec rien que les nombres à 64 diviseurs...
Moi j'ai cherché les lignes qui se terminaient par 64 dans cette liste-là : , donc j'ai quand même travaillé un peu

Posté par
dpi
re : Le défilé, suite... 06-05-16 à 08:30

perduBonjour,
Mes neurones se fatiguent..
J'ai cherché ,pour moins de 15000 participants ,le plus grand
nombre de participants formant le plus grand  nombre de
de rectangles possibles et j'ai donc répondu qu'avec 14280 participants
on pouvait   en former 64 ,j'ai trouvé les autres ,mais je ne les ai pas indiqués.

Posté par
albatros44
re : Le défilé, suite... 06-05-16 à 09:12

perduIdem pour moi, je n'ai pas compris qu'il fallait donner toutes les solutions !!!

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 59:37:28.
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