Bonjour,
Vous vous souvenez peut-être du « défilé au cordeau », ici : .
Voici la suite (indépendante de l'épisode précédent).
Le supérieur revient à la charge auprès de son subordonné :
- En ce qui concerne le défilé j'ai proposé votre schéma à l'organisateur général et il l'a approuvé, mais ensuite il m'a mis dans l'embarras : il m'a demandé combien de possibilités d'organisation existeraient si vous et votre groupe de 15, donc 16 hommes en tout, deviez défiler par rangées comportant le même nombre d'individus. Que vous lui auriez-vous répondu ?
- Si on considère à l'extrême qu'on peut défiler un par un ou contraire tous sur un même rangée je pense que cela doit faire 5 possibilités.
- C'est ce que je lui ai dit et il ne m'a pas contredit. Mais ensuite il m'a précisé que si tous les groupes du défilé étaient rassemblés en un seul il y aurait alors dans ce cas 64 possibilités théoriques et m'a demandé d'en déduire le nombre de participants. Vous pouvez m'aider ?
- On a un ordre de grandeur du nombre de participants ?
- Je sais seulement qu'il y en a moins de 15000. Qu'en pensez-vous ?
- ...
Aidez-les à répondre précisément à l'organisateur.
Bonjour littleguy,
Le nombre de participants est 13440 (puisqu'il y en a moins que 15000).
Merci pour cette énigme !
13440
Si tous les groupes comportent 16 hommes.
Si groupes de différentes tailles alors plusieurs possibilités :
7560
9240
10920
11880
13440
14040
14280
Bonjour,
Il y a plusieurs possibilités. Le nombre total de participants au défilé peut être de :
7560, 9240, 10920, 11880, 13440, 14040 ou 14280. (Merci l'OEIS)
Merci littleguy, bonne soirée.
Je trouve 7 possibilités inférieures à 15000.
Il s'agit de 7560, 9240,10920, 11880, 13440, 14040, et 14280.
Il suffit de vérifier que le nombre de diviseurs est égal à 64..
Bonsoir LittleGuy,
Si j'ai bien compris le problème, je dirai
le nombre de participants est 7560.
Merci pour l'énigme.
Bonjour,
Voici ma réponse :
Il y a 7 560 participants.
Il faut trouver un nombre inférieur à 15 000 qui a exactement 64 diviseurs. Je propose donc = 7 560.
Merci
Bonjour
Je pense qu'il faut chercher les entiers inférieurs à 15000 qui ont exactement 64 diviseurs.
Il y a 7 solutions pour le nombre de participants:
7560
9240
10920
11880
13440
14040
14280
bonsoir
je sens que je vais m'attraper un poisson sur ce coup-là… mais je tente
cela revient à chercher un nombre N inférieur à 15000, et qui admet 64 diviseurs.
si je fais la décomposition de N sous la forme Aa * Bb * Cc….. ----- A, B, C… étant nombres premiers,
le nombre de diviseurs est t = (a+1)(b+1)(c+1) : ici, on doit avoir t = 64
réponse à l'organisateur :
il y a 5 nombres de participants, nombres qui répondent tous à la condition "64 diviseurs et inférieur à 15000" :
23 * 33 * 51 * 71 = 7560 --- 4*4*2*2 = 64 diviseurs
23 * 31 * 51 * 71 * 111 = 9240 --- 4*2*2*2*2
23 * 33 * 51 * 111 = 11880 --- 4*4*2*2
27 * 31 * 51 * 71 = 13440 --- 8*2*2*2
23 * 33 * 51 * 131 = 14040 --- 4*4*2*2
le plus proche de 15000 est 14040.
merci Littleguy !
Bonjour à tous.
Je trouve 7 solutions : 7560, 9240, 10920, 11880, 13440, 14040 et 14280.
Merci pour l'énigme.
Bonjour,
J'ai compris beaucoup plus vite que les impairs divisibles par 5!!!
Il y a 14280 participants pour 64 "rectangles" en formation.
Il peut y avoir 10920 participants permettant 64 possibilités allant de une rangée de 10920 individus à 10920 rangées de 1 individu en passant par 104 rangées de 105 individus et 105 rangées de 104 individus.
Il peut également y avoir 9240 participants permettant 64 possibilités allant de une rangée de 9240 individus à 9240 rangées de 1 individu en passant par 88 rangées de 105 individus et 105 rangées de 88 individus.
merci pour cette énigme
Il y a participants.
En effet, en écrivant la décomposition du nombre de participants en facteurs premiers , le nombre de ses diviseurs distincts vaut . Il faut donc que
De plus, le défilé étant formé de plusieurs groupes (que j'ai supposé de même cardinal), la décomposition en facteurs premiers de impose que 16 divise n c'est-à-dire que et
Comme divise , mais comme ,
On en déduit que (avec )
On est donc dans un des 3 cas suivants
et
et
et
Le plus petit nombre que l'on puisse former dans le cas 1 est qui conduit à qui convient (le terme suivant est trop grand)
Le plus petit nombre que l'on puisse former dans le cas 2 est qui conduit à (trop grand)
Le plus petit nombre que l'on puisse former dans le cas 3 est qui conduit à (beaucoup trop grand)
Il y a 13440 participants.
Le nombre de possibilité d'organisation est simplement le nombre de diviseur du nombre de participants. 16 a 5 diviseurs (1,2,4,8,16).
Le seul nombre plus petit que 15000 avec un nombre de diviseurs égal à 64 et multiple de 16 (on suppose que chaque groupe contient 16 personnes) est 13440. Soit 840 groupes de 16 personnes.
Si on considère que les groupes ne contiennent pas nécessairement 16 personnes (ce n'est pas vraiment explicite dans l'énoncé) alors on a 7560, 9240, 10920, 11880, 13440, 14040 ou 14280 participants.
Slt à tous
Il faut répondre à l'organisateur que c'est impossible, qu'il a du se tromper dans ses appréciations.
Bien à vous tous
Bonjour,
je dirais qu'il faut considerer que 64 est 2 puissance 6; que si on a k et k' des entiers premiers et n et n' des entiers, alors un groupe de kn*k'n' participants, il y aura (n+1)*(n'+1) possibilites d'organisation.
Il apparait que l'on ne peut se contenter d'un, deux ou trois nombres premiers k, mais qu'il faut un minimum de 4 d'entre eux (qui seront 2, 3, 5 et 7) pour permettre de diminuer le nombre de participants avec des puissances respectives de 3, 3, 1 et 1.
On a donc 23*33*51*71 participants avec 64 (4*4*2*2) possibilites d'organisation.
Neanmoins si on prend 5 entiers premiers en rajoutant 11, et avec les valeurs 3, 1, 1, 1 et 1 pour les puissances, on obtient 23*31*51*71 *111 participants avec 64 (4*2*2*2*2) possibilites d'organisation.
On 64 possibilites d'organisation dans chacun des cas, mais avec soit 7560 soit 9240 participants (tous les deux en dessous de 15 000.
On ne peut donc pas vraiment repondre a l'organisateur avec le nombre exact de participants mais seulement lui proposer plusieurs solutions...
petit aparte:
bonsoir ,
on cherche un nombre <15000 possédant 64 diviseurs,
en remarquant que
64 =(7+1)(1+1)(1+1)(1+1)
je trouve que
convient pour l'effectif de l'ensemble des groupes
merci pour ce petit calcul
Bonsoir
Je pense que le nombre total de participants, tous groupes confondus, s'élève à 13 440.
C'est en effet le seul entier naturel :
- inférieur à 15 000
- multiple de 16
- ayant 64 diviseurs positifs
Merci pour cette énigme ! Trop
Bonjour,
Je suppose que tous les groupes du défilé ont 16 participants, parce que je trouve sinon plusieurs solutions.
Ma réponse est : 13440 participants (840 groupes de 16).
Si on considère que les groupes n'ont pas forcément tous 16 participants, il y a 6 possibilités:
7560, 9240, 10920, 11880, 13440 ou 14040 participants.
Merci.
Erreur de recopiage : il y a 7 possibilités sans la contrainte des 16 par groupe:
7560, 9240, 10920, 11880, 13440, 14040 ou 14280 participants.
Bonjour,
Énigme clôturée.
Dans mon esprit les groupes n'avaient pas nécessairement le même effectif et ce que j'entendais par « répondre précisément » c'était donner toutes les possibilités, quelque chose du style « Monsieur, il peut y avoir soit 7560, soit 9240, soit 10920, soit 11880, soit 13440, soit 14040, soit 14280 participants ».
Mais je conçois que « précisément » ait pu être interprété différemment, implicitement suggéré que la réponse était unique, et donc que les groupes avaient forcément le même nombre de participants.
Aussi, outre la donnée des sept possibilités, j'ai aussi accepté la seule donnée de 13440.
L'idéal étant bien sûr une réponse telle que celles de torio et LittleFox.
Dans le premier cas, une méthode est parfaitement donnée par Carita, mais qui malheureusement a oublié deux cas :
si je fais la décomposition de N sous la forme Aa * Bb * Cc….. ----- A, B, C… étant nombres premiers,
le nombre de diviseurs est t = (a+1)(b+1)(c+1) : ici, on doit avoir t = 64
23 * 33 * 51 * 71 = 7560
23 * 31 * 51 * 71 * 111 = 9240
23 * 31 * 51 * 71 * 131 = 10920
23 * 33 * 51 * 111 = 11880
27 * 31 * 51 * 71 = 13440
23 * 33 * 51 * 131 = 14040
23 * 31 * 51 * 71 *171 = 14280
Et comme l'a remarqué trapangle on peut trouver la liste ici : l
Dans le second cas le cheminement conduisant à la réponse 13440 est clairement résumé par Achdeuzo.
Merci à tous !
Il y a aussi la solution de facilité avec XCAS ( [lien]).
"Prg" "Nouveau programme"
f():={
local j;
sol:=[];
pour j de 1 jusque 15000 faire
si size(idivis(j))==64 alors
afficher(j,size(idivis(j)),idivis(j));
sol:=append(sol,j);
fsi
fpour j;
retourne sol;
}:;
[7560,9240,10920,11880,13440,14040,14280]
Bonjour,
Mes neurones se fatiguent..
J'ai cherché ,pour moins de 15000 participants ,le plus grand
nombre de participants formant le plus grand nombre de
de rectangles possibles et j'ai donc répondu qu'avec 14280 participants
on pouvait en former 64 ,j'ai trouvé les autres ,mais je ne les ai pas indiqués.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :