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le dernier exercice:groupe, sous groupe L1 MI nabjeans
*:etoile
soit(G,*) un groupe et H un sous groupe de G
soit a appartient a G
Et a * H = {a * h /h appartient a H}
a) montrer que si a n appartient pas à H alors a * H est different de l'ensemble vide et a * H n'est pas un sous groupe de G
b) montrer que si a appartient à H, a * H est un sous groupe de G;preciser lequel
c)Pour(G,*) on prend le groupe (Z,+) et pour H le sous groupe des multiple de 4
determiner des entiers a1,a2,....;an appartenant a Z tels que
Z=H U(a1+H)U(a2+H)U....U(an+H)
U:union
a) Si a n'appartient pas à H:
1) a*e=a (e est l'élément neutre qui appartient necessairement à H)appartient à a*H
2) Soient b et c appartenant à H
Alors (a*b)*(a*c)=a*b*a*c (associativité dans G) mais ce n'est pas de la forme a*h avec h appartenant à H car b*a*c n'appartient pas à H (car a n'appartient pas à H).
b) Il suffit de vérifier les 4 propriétés qui permettent de définir un groupe (stabilité selon * ; associativité ; existence de l'élément neutre ; inversibilité de tout élément selon *).
On sait donc que a*h est un groupe ; c'est le groupe engendré par l'élément a et noté <a> ; c'est un groupe cyclique.
c) Je ne comprends pas pas si G est le groupe des entiers relatifs ou si c'est le Z que tu défini par la suite????
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