Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau 3 *
Partager :

Le duel***

Posté par
Victor
07-01-05 à 17:31

L'énigme est la suivante :

Clemclem et Puisea s'affrontent dans un duel d'énigmes de la manière suivante :
Clemclem propose une énigme à Puisea. Celui-ci réfléchit et donne sa réponse. Si celle-ci est fausse, Clemclem a gagné, sinon c'est au tour de Puisea de poser son énigme à Clemclem. Si la réponse de Clemclem est fausse, Puisea a gagné, sinon Clemclem pose de nouveau une énigme, etc...
Le duel s'arrête quand l'un des duellistes gagne (c'est-à-dire que l'autre n'a pas répondu correctement).
On considère que Puisea et Clemclem sont de même niveau et qu'ils ont chacun 50% de chances de répondre correctement à chaque énigme posée.
Quelle est la probabilité que Clemclem gagne ce duel ?

Question culturelle : plus tragiquement, un célèbre mathématicien du XIX ème siècle a été tué très jeune au cours d'un duel (au pistolet celui-là). Quel est son nom ?

Bon courage
Clôture de l'énigme : mardi 11/01.

@+

Posté par
franz
re : Le duel*** 07-01-05 à 18:42

gagnéSi on désigne par C_n l'événement Clemclem gagne à la 2n-1° énigme et par P_nl'événement Clemclem gagne à la 2n° énigme on a

p(C_n)=p(\bar C_1 \cap \bar P_1 \cap \bar C_2 \cap \bar P_2 \cap ...\cap \bar P_{n-1} \cap C_n)=\(\frac 1 2\)^{2n-1}

la probabilité que Clemclem gagne vaut donc
\Bigsum_{n=1}^\infty p(C_n) \; = \; \Bigsum_{n=1}^\infty \(\frac 1 2\)^{2n-1} \; = \; \frac 1 2 \Bigsum_{n=0}^\infty \(\frac 1 4\)^{n} \; = \; \frac 1 2 \frac 1 {1-\frac 1 4} \; = \; \frac 2 3

Clemclem gagne avec une probabilité de \Large\fbox {\blue \; \frac 2 3 \;}

Evariste Galois n'a quant à lui pas eu l'heur de gagner son duel sûrement lié à un échec amoureux.

Posté par minotaure (invité)re : Le duel*** 07-01-05 à 18:50

perdusalut.
pour clemclem je dirais 1/2 (hum ca sent le poisson ca et meme tres fort...)

pour l'enigme culturelle je dirais Galois.
celui qui est a l'origine de "la theorie de Galois".

Posté par Al1 (invité)re : Le duel*** 07-01-05 à 19:27

Je dirai 50%...

Pour la question subsidiaire... Evariste Galois...

Ah, l'amour...

Posté par cpouri (invité)euuh 07-01-05 à 21:26

perdu1 chance sur 3

Posté par pietro (invité)re : Le duel*** 07-01-05 à 22:19

1) Question culturelle : Evariste GALOIS

2) Clemclem a la probabilité [/b]\frac{2}{3} [b] de gagner.
  C'est en fait 1/2 + 1/2.1/2.1/2 + 1/2.1/2.1/2.1/2.1/2 + ..... = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^(2n+1)}
  Et Puisea gagne avec la probabilité 1/22 + 1/24 + 1/26 + ..... = 1/3.
  On remarque Que Clemclem a 2 fois plus de chances de gagner.

Posté par
Nofutur2
re : Le duel*** 07-01-05 à 22:25

gagnéA l'issue du 1er tour , la probabilité que Clemclem gagne est de 0,5 et celle que Puiséa gagne est de 0.
A l'issue du 2ème tour , la probabilité que Clemclem gagne est de 0,5 et celle que Puiséa gagne est de 0,52.
A l'issue du 3ème tour , la probabilité que Clemclem gagne est de 0,5 + 0,53 et celle que Puiséa gagne est de 0,52
A l'issue du (2n+1)ème tour , la probabilité que Clemclem gagne est de 0,5 + 0,53...+0,52n+1= 0,5*(1-0,25n)/(1-0,25) et celle que Puiséa gagne est de 0,25*(1-0,25n)/(1-0,25).
Si on fait tendre n vers l'infini pour prendre en compte tous les cas d'issue du duel, on voit que Clemclem a 2/3 de probabilité de gagner, contre 1/3 pour Puiséa.

Question culturelle : Evariste Galois

Posté par
manpower
re : Le duel*** 08-01-05 à 00:29

gagnéArrgg des probas !
On modélise via un pile ou face...
A l'étape 1, C (pour Clemclem) possède illico une probabilité de 1/2
A l'étape 2, P (pour Puisea) possède une probalité (conditionnelle) de 1/4
...
Les probabilités succéssives à chaque étape sont:
Pour C: 1/2 - 1/8  - 1/32 ...
Pour P: 1/4 - 1/16 - 1/64 ...

Par sommation à l'infini, on obtient les probas suivantes:
3$p(C)=\Bigsum_{i=0}^\infty~\frac{1}{2^{2i+1}}     et    3$p(P)=\Bigsum_{i=1}^\infty~\frac{1}{2^{2i}}
On montre que p(C)=  \frac{2}{3}    et    p(P)=  \frac{1}{3}
( par exemple via p(C) + p(P) = 1  et  p(C) = 2 \times p(P) )
( technique un peu lourde et balourde... )

On peut plus facilement constater qu'à rang de probabilité égal, la probabilité de C et toujours double de celle de P ( 1/2 contre 1/4, 1/8 contre 1/16... ) donc p(C) = 2 \times p(P)
(avec bien sûr p(C) + p(P) = 1). Clemclem possède donc deux fois plus de chance que Puisea de gagner. Ainsi, sans l'utilisation des séries, p(C)=  \frac{2}{3}    et    p(P)=  \frac{1}{3}


Verdict :
Clemclem vs Puisea :  \frac{2}{3} vs  \frac{1}{3}

Côté culture (ce n'était pas trop dur...):
Il s'agit d' Évariste Galois (1811-1832) (image ci-dessous)
Il est mort la nuit du 29 mai 1832, lors d'un duel qui l'opposait à un officier pour défendre l'honneur d'une femme !
Aussi beau que la théorie qui porte son nom.

Le duel

Posté par gilbert (invité)re : Le duel*** 08-01-05 à 11:09

gagnéClemclem peut ne peut gagner qu'après un nombre impair de jeux, soit n :
La probabilité qu'il gagne est Pclem = (1/2) + (1/2)3 + (1/2)5 + (1/2)7 +...= 1/2 * 1/(1-1/4) = 1/2 * 4/3 = 2/3

On vérifie que la probabilité que ce soit Puiséa qui gagne est complémentaire (elle ne peut gagner qu'apres un nombre pair de jeux) :
Ppuiséa =  (1/2)2 + (1/2)4 + (1/2)6 +...= 1/4 * 1/(1-1/4) = 1/4 * 4/3 = 1/3.

Posté par gilbert (invité)re : Le duel*** 08-01-05 à 11:11

gagnéPardon, j'ai oublié la question culturelle ... C'est Evariste Galois.!!!
Clémence please !!

Posté par daniel12345 (invité)re : Le duel*** 08-01-05 à 16:17



     Bonjour

  1°)     Probabilité de gain pour Clemclem  : 2/3

  2°)     Il s'agit sans doute d' Evariste Galois

Posté par jetset (invité)re : Le duel*** 08-01-05 à 23:46

gagnéClecmclem a une probabilité de 2/3 de gagner ce duel.

Posté par
takhasys
re : Le duel*** 09-01-05 à 01:39

perduBonne année
Evariste Galois, recalé à Polytechnique car incompris par l'interrogateur.

Posté par jetset (invité)re : Le duel*** 09-01-05 à 09:10

gagné...et pour la question culturelle, il s'agit d'Evariste Galois.

Posté par mani (invité)re : Le duel*** 09-01-05 à 18:20

La 1ere réponse est:
66,67%
La 2e réponse est:
Évariste Galois(1811-1832) un jeune mathématicien français
explications:
Qa = Question posée par Clemclem
Qb = Question posée par Puisea
F = une réponse fausse
V = une réponse vraie
Les points noires représentent les réponses fausses données par Puisea:
La probabilité que Clemclem gagne ce duel est=
P=0,5+0,5(0,5x0,5)+0,5(0,5x0,5)2 +…..0,5(0,5x0,5)n
P=0,5(1+(1/4)2+(1/4)3+….+(1/4)n)
P=0,5(1-(1/4)n)/(1-(1/4))
avec n
P=0,5(1-0)/(3/4)=0,5(4/3)=2/3
donc P=66,67%




Le duel

Posté par Fabien (invité)ca sent le poisson 09-01-05 à 22:02

Il y a équiprobabilité: "On considère que Puisea et Clemclem sont de même niveau et qu'ils ont chacun 50% de chances de répondre correctement à chaque énigme posée"

Donc la probabilité pour que Clemclem gagne est de 1/2, 50%

Mais je sens qu'il y d'autres paramètres rentrant en jeux ...

Le mathématicien est Evariste Gallois, mort à 21 ans.


ca sent le poisson

Posté par fanpsg (invité)re : Le duel*** 10-01-05 à 14:16

perdubonjour

la probabilité est 1/2
le matématicien est Evariste Galois

Posté par
H_aldnoer
re : Le duel*** 10-01-05 à 19:14

perdula probabilité que Clemclem gagne ce duel est p(X) = 1/2
car pr pouvoir gagné il faut que Puisea ne reponde pa a la premiere enigme de Clemclem : il a donc une chance sur 2 (p(X)=1/2) de gagner ce duel

Posté par
Ksilver
re : Le duel*** 10-01-05 à 20:33

gagnéalors la chance qua clemclem de gagner est de 1/2 (gagner au 1er coup) +1/8 (gager au 3e coup) +1/32 ...+1/(2^(2n+1))

la chance qua pusiea de gagner est de 1/4+1/16+1/64.. +1/2^(2n) (=1/4^n)

donc la chance qua pusiea a de gagner est de 1/(4*(1-1/4)) sois 1/3 et donc par deduction le chance qua clemclem de gagner est de 2/3


quand a ce malheureux mathemacien il s'agit de Galois (Evariste Galois il me semble).

Posté par matt- (invité)re : Le duel*** 11-01-05 à 16:20

perduClemclem a deux fois plus de chances de gagner que Puisea en commençant la partie (il suffit de regarder seulement le "premier tour", le processus se répétant invariablement).
Donc la probabilité que ClemClem gagne ce duel est de 2/3.

Posté par Shelia (invité)re : Le duel*** 11-01-05 à 17:00

gagnéA la première enigme clemclem à 1/2 de gagner (car son adversaire à 1/2 de perdre).
il à 1/4 (1/2 de 1/2) de perdre à la 1er enigme de puisea.
1/8(1/2 de 1/4) de gagner à la 2e enigme
il à 1/16 (1/2 de 1/8) de perdre, à la 2e enigme de puisea
il à 1/32 (1/2 de 1/8) chance de gagner à la 3e enigme.
Etc.
Il à donc (1/2)*(1/4)n-1 chance de gagner à la n ieme enigme qu'il pose.

On doit donc prendre la somme de ces termes, de 1 à n.

(1/2)*(1/4)n-1

Somme de 1 à n (je sais pas mettre les bornes sur ce forum).

Ce qui donne une probabilité de 66,6666... %

Soit 2 chance sur 3 de gagner.






Posté par PolytechMars (invité)Le duel! 11-01-05 à 19:15

perduetant donne que Clemclem commence, il a d'ores et deja une chance sur deux de gagner et il y a une chance sur deux pour que Puisea puisse poser sa question. Une fois cet evenement realisé, Puisea a 1/2 chance de gagner. Par consequent,sur ce premier aller retour d'echange d'enigmes, clemclem a eu 0.5 de chance de gagner tandis que puisea n'a eu que 0.5*0.5=0.25 chance de gagner puisqu'il fallait qu'il reponde juste des la premiere question et qu'ensuite Clemclem se trompe. Donc  clemclem a O.5-0.25=0.25 plus de chance de gagner que puisea, ce qui revient a resoudre x+x-0.25=1 soit x=0.625 donc Clemclem a 62,5 chance de gagner!!
Miaouw

Posté par elkingcoolssss (invité)reponse culturel 11-01-05 à 19:49

perduEvariste Gallois

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)re : Le duel*** 11-01-05 à 21:44

gagnéLa reponse est 2/3
en effet celui qui commence a 2 fois plus de chance de gagner que celui qui ne commence pas ... =) CQFD

Posté par xWiBxRaYmAn0o7x (invité)re : Le duel*** 11-01-05 à 22:32

gagnédesolé j'ai oublié de poster pour la questio culturelle j'espere qu'il ne m'en sera pas tenu rigueur

il s'agit du mathematicien evariste galois

Posté par
Victor
re : Le duel*** 12-01-05 à 13:04

Bravo pour toutes les bonnes réponses.

Les deux réponses attendues :
- la proba que clemclem gagne est de 2/3. Je vous renvoie aux différents raisonnements.
- pour la question culturelle, le mathématicien à trouver était Evariste Galois.

@+

Posté par
alloh
duel 28-03-08 à 21:58



je propose cela
1: Evariste GALOIS
2: il a 2/3 de chance de gagner

Posté par
borneo
re : Le duel*** 28-03-08 à 22:08



C'est triste, tous ces verts...

Posté par dellys (invité)re : Le duel*** 28-03-08 à 23:19

Salut Bornéo !

Nostalgie ?


w@lid.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 44:25:47.
Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !