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Le nombre d'or + la suite de Fibonacci
Bonsoir, j'ai un DM de maths mais je n'y comprend pas grand chose. Mon énoncé est :
1ère partie :
Définition de la proportion d'or :deux longueurs strictement positives a et b respectent la proportion d'or si et seulement si, le rapport de a sur b est égal au rapport de a+b sur a. a/b=(a+b)/a
Définition du nombre d'or : le nombre d'or est le nombre réel positif noté P, égal ) la fraction a/b
1) Montrer que a/b=(a+b)/a <=> a/b+1 = (a/b)2
2) En déduire que le nombre d'or est la solution positive de l'équation : x2-x-1=0
3) déterminer la valeur exacte de P et montrer que l'autre solution B vérifie :
P B =-1 ; P+B=1 et B=(1-racine carré de 5)/2
2ème partie :
en 1202, Fibonacci, un mathématicien de Pise, posa le problème des lapins :
" possédant au départ un couple de lapin, combien de couple de lapin obtient-on au bout de n mois?" On suppose que chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter de 2ème mois de leur existence et que les lapins de meurent pas!
On note Unle nombre de couple de lapin au nèmemois ( où n appartient à N*) avec U1=U2=1
1) Calculer U3, U4 et U5
2) Déterminer une relation entre Un+2, Un+1 et Un
3) On pose (Vn) la suite définie sur N par Vn=Un+1-P Un
A/ démontrer que Vn+1=B Vn
B/ calculer V1
C/ en déduire Vn en fonction de n.
4) Montrer alors que Un+1 = Bn+P Un
5) On pose (Wn)la suite définie sur N par Wn = (P-B)Un+Bn
A/ Démontrer que Wn+1 = P Wn
B/ Calculer W1
C/ En déduire Wn en fonction de n
6) Montrer, enfin, que Un= 1/racine carré de 5 (Pn - Bn), pour tout n appartient à N
7) Calculer U36, c'est à dire le nombre de lapins au bout de 3 ans ( d'où l'expression...)
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait. Merci d'avance.
Bonjour, voici quelques pistes.
Première partie:
1) a/b = (a+b)/a s'écrit aussi a/b = 1 + (b/a) puis multiplie les 2 membres par a/b
2)regarde comment l'égalité montrée en 1) s'écrit quand tu remplaces a/b par P
et compare avec l'équation.
3)il faut résoudre l'équation.....
je continue; deuxième partie:
ler mois: 1 couple , voilà pourquoi u1 = 1
2è mois: pas de naissance...........u2 = 1
1)3ème mois: le couple de du début donne naissance à un couple, dc u3 = 2
4ème mois: idem, donc encore 1 couple de plus.
5ème mois: 2 naissances (du 1er couple et de celui né le 3ème mois)
2) au mois (n+ 2): on retrouve les couples de l'année précédente, il y en a Un+1; mais ceux de l'année n donnent chacun naissance à 1 couple , donc Un couples supplémenaires......
Suite:
3) Vn = Un+1 - PUn
donc Vn+1 = Un+2 - PUn+1 remplace Un+2 par ce quetu auras trouvé en 2)
et BVn = (1 - P)Vn = (1 - p)(Un+1 - PUn) ; en développant, tu auras un P^2 que tu remplaceras par 1 + p (cf équation de la première partie)
....
Bon courage!!
il faut résoudre l'équation de la question 2),P sera la solution positive et B l'autre; ensuite tu montres les relations demandées.
Bonsoir,
Pour la partie 2 le petit 3) a-
je suis arrivé à Vn+1=Un(1+Un)-PUn+1
Mais je ne comprend pas comment on peut arrivé à Vn+1=BVn ?
Merci d'avance
rebonjour
je ne pense pas que ta relation soit juste. On trouve plutôt
V(n+1) = U(n) + (1-P)U(n+1)
j'ai mis les indices entre parenthèses.OK?
ensuite calcule BV(n) et tu trouveras la même chose.(pense à utiliser les relations de la première partie question 3)
Bonne année à vous aussi.
On ne peut pas factoriser?
Je vous remercie mais je ne comprend toujours pas le 3.
on a V(n) = U(n+1)-PU(n) pour tt n
donc: V(n+1) = U(n+2) - PU(n+1)
on peut remplacer U(n+2) par U(n+1)+U(n) (si tu as bien trouvé cette relation en 2)
par ailleurs BV(n) = BU(n+1) -BPU(n)
or d'après la 1ère partie: B+P = 1 donc B = .....
et BP = -1
donc BV(n)=.....
puis copare avec V(n+1)
Bonsoir a tous,
Je suis nouveau sur le forum et je viens de m'apercevoir que le DM que mon prof de maths m'a donné pour les vacances et celui qui est proposé ci dessus!! Malgré avoir relu toutes les informations données par "kervad22" je n'arrive toujours pas faire ce DM!!!
Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il-vous-plait ?
Je vous en remercie d'avance 
Bonjour,
J'ai fait le DM jusqu'à la deuxième partie mais je coince à partir du 3)!!!
Si j'avais vous pourriez me donner quelques INFORMATIONS et non pas "Réponses" cela serait très gentil de votre part.
Merci d'avance!
Tout d'abord bonne année a tous !
Je me suis débrouiller pour le 3)a) et b) mais je bloque au c) une aide serait la bienvenue
donne rapidement tes réponses avant, vraiment sans faire de phrases ni rien
merci, bonne année à toi aussi
3)a)Vn=Un+1-PUn BVn=BUn+1-BPUn
Vn+1=Un+2-PUn+1 BVn=(1-P)Un+1 + Un
Vn+1=Un+1+Un-PUn+1
Vn+1=(1-P)Un+1 + Un
b) Vn=Un+1-PUn Vn+1=BVn
V0=U1-PU0 V1=B*V0
V0 =1 V1=B=((1-V5)/2)
Et pour le c) j'ai trouvé:
Vn+1-q(la raison)*Vn=0
V2-q*V1=0
B^2-B*B=0
donc: Vn=V0*q^n
Vn=B^n
le 4) Vn=Un+1-PUn
Vn+1=Un+2-Pun+1
Un+2=Vn+1+PUn+1
Un+1=Vn+PUn
Un+1=B^n+PUn
le 5)a) je n'y arrive pas
le b)W1=(P-B)Un+B^n
=P
et le c) je n'y arrive pas non plus!!
Merci de votre aide
pour la 5)a, c'est facile
en fait, tu calcules chaque coté
Wn+1=(P-B)Un+1+B^n+1
Or Un+1=Vn+PUn
Donc
Wn+1=(P-B)(Vn+PUn)+B^n+1
=(P-B)(B^n+PUn)+B^n+1
=PB^n+P²Un-B^n+1-BPUn+B^n+1
=PB^n+P²Un-BPUn
J'imagine que tu as déjà fait ça, mais tu ne vois pas où ça te mène?
alors je te laisse faire la suite parce que moi aussi, j'ai des maths à faire^^
maintenant, tu développes PWn et tu te rends compte finalement que c'est égal
Par contre, je suis désolé, je n'ai pas vraiment le temps de regarder la suite de ton exo...parce que j'ai un putain de DM de physique à faire pour demain, et je suis un peu dans la merde ^^
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