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Niveau quatrième
le papyrus de rhind
Posté par titi63
Le papyrus de Rhind (1650 av J.C) montre que les égyptiens n'utilisaient pour leurs calculs, essentiellement que des fractions de numérateur 1 et dont les dénominateurs étaient des nombres entiers strictement positifs. Ces fractions portent le nom de fractions égyptiennes. Deux exceptions cependant : ils utilisaient 2/3 et 3/4 qu'ils représentaient par des signes spéciaux.
Ainsi pour exprimer ce qui est aujourd'hui la fraction 3/5 ils utilisaient une décomposition en une somme de fractions égyptiennes distinctes comme 1/2+1/10 PAR EXEMPLE.
On se propose dans cet exercice de décomposer quelques fractions en une somme de fractions égyptiennes distinctes.
1.a.Calculer les expressions suivantes :1/3+1/2X3 1/4+1/3X4 1/5+1/4X5
b. Démontrer que n étant un nombre entier positif non nul:
1/n=(1/n+1 )+(1/n x(n+1))
c. en utilisant la question précédente écrire 1/5 puis 1/6 sous la forme d'une somme de deux fractions égyptiennes distinctes.
2.a.Calculer l'expression suivante 1/2+1/6
b. en utilisant la question 1 écrire 2/3 sous la forme d'une somme de quatre fractions égyptiennes distinctes.
c. Démontrer que , p étant un nombre entier positif non nul:
2/3xp=1/2xp+1/6xp
d. en utilisant la question précédente, écrire 2/9 puis 2/15 sous la forme d'une somme de deux fractions égyptiennes distinctes.
3.a. Recopier et compléter: 7/11 = 14/22 = 11+2+1/22 = 1/...+1/...+1/...
b. En utilisant la démarche de la question précédente écrire 5/7 sous la forme d'une somme de trois fractions égyptiennes distinctes.
merci pour votre aide je ne comprends rien
Bonjour à toi aussi
1.a.Calculer les expressions suivantes :1/3+1/2X3 1/4+1/3X4 1/5+1/4X5
Citation :
1/3+1/2X3
1/3+1/2X3
est équivoque car on peut comprendre 1/3+(1/2)*3 ou 1/3+1/(2*3) ce qui est sans doute le cas
1/3+1/(2*3)=1/3+1/6=3/6=1/2
on peut exprimer 1/2 comme étant la somme des 2 fractions 1/3+1/6
idem pour la suite
b. Démontrer que n étant un nombre entier positif non nul:
1/n=(1/n+1 )+(1/n x(n+1))
réduis le membre de droite au même dénominateur puis simplifies
c. en utilisant la question précédente écrire 1/5 puis 1/6 sous la forme d'une somme de deux fractions égyptiennes distinctes.
1/n=1/5 , 1/n+1=1/(5+1)=1/6 , 1/n(n+1)=1/(5(5+1))=1/30
et 1/5=1/6+1/30 et en réduisant au même dénominateur 1/6+1/30=(5+1)/30=6/30 et en simplifiant par 6 on a 1/5
continues, je m'en vais déjeuner
tout d'abord merci
si j'ai bien compris pour la question 1.a
1/4+1/(3x4) = 1/4+1/12 = 3/12 +1/12 =4/12= 1/3 ON PEUT DIRE QUE 1/3 = 1/4 +1/12
1/5 +1/(4x5) =1/5+1/20 = 4/20 +1/20 = 5/20 = 1/ 4 donc on peut dire que
1/4 =1/5 +1:20
c'est ca ou pas ?
b 1/n = 1/n+1 +1/n(n+1) = (1xn)/n(n+1) +1/n(n+1) = n+1/n(n+1) = 1/n
j'ai reduis et simplifiez c'est exact ou pas
Je ne suis pas la cette aprem je continuerais ce soir merci
bonjour
pour la question 1.c je n'ai pas compris ce que tu as fait?
POUR LA 2.a j'ai fait
1/2+1/6 = 3/6+1/6 =4/6 = 2/3 c'est excat?
Pour la 2.b je ne comprends pas
pour la 2.c
2/3xp = 1/2xp +1/6xp
2/3xp = 3/6xp +1/6xp
2/3xp = 4/6xp
2/3xp =2/3xp c'est ca?
Pour la question 1)c, je n'ai fait qu'appliquer la formule
1/n=1/5 donc n=5
pour 1/6, n=6 et 1/n+1=1/7 puis 1/n(n+1)=1/6(6+1)=1/42
1/6=1/7+1/42 car 7/42=1/6 en simplifiant par 7
pour la 2)a c'est exact
pour la 2)b
2/3=1/3+1/3
une solution 2/3=1/3+1/4+1/20+1/30
car 1/3+1/4+1/20+1/30=(20+15+3+2)/60=40/60=2/3 en simplifiant par 20
Je dois quitter, la suite pour plus tard
OK J'ai compris pour la 1c et la 2b
pour la 2.c
2/3xp = 1/2xp +1/6xp
2/3xp = 3/6xp +1/6xp
2/3xp = 4/6xp
2/3xp =2/3xp c'est ca?
pour la 2d je ne comprends pas
pour la 3.a
j'ai trouvé
7/11 =14/22 = 11+2+1/22 = 1/11+1/11+1/22 C'est ca?
POUR LA 3.b
j'ai fait
5/7 = 10/14 = 2+2+6/14 = 1/7+1/7+3/7 C'est ca?
Les fractions de la somme doivent en principe être toutes différentes, or tu as 2 fois 1/11 et 1/7
pour la 2)d
2/3p=1/2p+1/6p
2/9=2/3p donc p=3
2/9=1/6+1/18
1/6+1/18=(3+1)/18=4/18=2/9
fais pareil pour 2/15
3)a 7/11 = 14/22 = 11+2+1/22 = 1/...+1/...+1/...
7/11=1/11+1/2+1/22
1/11+1/2+1/22=(2+11+1)/22=14/22=7/11
3)b
5/7=10/14=7+2+1/14
5/7=1/7+1/2+1/14
1/7+1/2+1/14=(2+7+1)/14=10/14=5/7
Bonjour,
à noter que les décompositions ne sont en général pas uniques.
pour 2/3 en 4 fractions il y a 61 solutions différentes !!
par exemple :
1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/20 = 2/3
1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 = 2/3
1/3 + 1/6 + 1/9 + 1/18 = 2/3
1/2 + 1/14 + 1/15 + 1/35 = 2/3
1/2 + 1/7 + 1/43 + 1/1806 = 2/3
etc etc (je ne vais pas donner la liste des 61 solutions !!)
pour 5/7 en 3 fractions, il y a trois solutions différentes :
1/2+1/7+1/14=5/7
1/2+1/6+1/21=5/7
1/2+1/5+1/70=5/7
(obtenues par "force brute" en essayant systématiquement toutes les possibilités)
ceci dit, l'énoncé suggère une méthode qui suggère une parmi ces solutions (comme discuté par mijo)
Bonjour mathafou
Tu as raison de souligner qu'il y a pas qu'une solution. C'est pour ça que pour 2/3 en 4 fractions j'ai écrit une solution, mais j'aurais dû ajouter parmi d'autres