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Niveau énigmes
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Le premier dupliqué

Posté par
dpi
20-03-18 à 11:09

Bonjour à tous,

Une bonne période d'énigmes..

Prenons un nombre premier par exemple 13 et formons un nouveau nombre en
le dupliquant soit 1313 on sait qu'un tel nombre ne sera pas premier
puisqu'à part lui même ,il aura au moins un diviseur.
Mais trouverez-vous un tel nombre qui n'aura qu'un seul diviseur

Posté par
matheuxmatou
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 11:16

tu veux dire :  "un seul diviseur différent de 1 et lui-même" ?

Posté par
matheuxmatou
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 11:28

petite réflexion :

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 11:38

Bonjour et merci à dpi d'animer
Une autre réflexion :

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 11:46

Je dois quelques explications:

J'ai cherché surtout dans les  premiers à 4 chiffres dupliqués  exemple

Posté par
matheuxmatou
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 11:50

dpi : et tu as trouvé ?

Posté par
dpi
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 12:05

18711871 et constaté qu'il y avait  comme diviseur:
Bien sûr 1871 et donc son multiplicateur 18149
mais aussi 137 et  donc son multiplicateur  136583
mais surtout 73 et donc son multiplicateur  256327
Comme 73 est commun à tous les 8 chiffres ,je posais la question du minimum de
diviseurs  et je n'aurais jamais du préciser (qu'un seul)

Posté par
jsvdb
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 14:42

Bonjour !
Si p est un premier de n_p chiffres alors le dupliqué D(p) aura au moins 10^{n_p}+1 comme diviseur autre que lui puisqu'il s'écrit D(p) = p.(10^{n_p}+1).

Le problème revient donc à chercher les diviseurs de 10^n+1 pour n \in \N^*

Dans les nombres de diviseurs de D(p), j'inclus les trois diviseurs triviaux p,1 et 10^{n_p}+1

n_p = 1 : 11 donc 11.p a 4=2^2 diviseurs.
n_p = 2 : 101 donc 101.p a 4=2^2 diviseurs.
n_p = 3 : 1001 = 13*11*7 donc 1001.p a 16=2^4 diviseurs.
n_p = 4 : 10001 = 73*137 donc 10001.p a 8=2^3 diviseurs.
n_p = 5 : 100001 = 11*9091 donc 100001.p a 8=2^3 diviseurs.
n_p = 6 : 1000001 = 101*9901 donc 1000001.p a 8=2^3 diviseurs.
n_p = 7 : 10000001 = 11*909091 donc 10000001.p a 8=2^3 diviseurs.
n_p = 8 : 100000001 = 17*5882353 donc 100000001.p a 8=2^3 diviseurs.
\blue n_p = 9 : 10^9+1 = 7*11*13*19*52579 donc (10^9+1).p a \blue 64=2^6 diviseurs.
n_p = 10 : 16 diviseurs.
n_p = 11 : est le premier où l'on voit apparaître des puissances : 10^{11}+1 = 11^2*23*4093*8779 : 64 diviseurs.
***
n_p = 15 : 256 diviseurs
***
n_p = 19 : 8 diviseurs

@dpi : 18149 ne divise pas 18711871.

Liste des diviseurs de 18711871 = 1871*10001 : \{1;73;137;1871;10001;136583;256327;18711871\} \\

Posté par
dpi
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 16:47

>jsvsb
oui pour l'erreur,j'avais laissé un mauvais chiffre en mémoire.

En fait, je me posais la question des premiers dupliqués *et j'ai attaqué  directement
sur les 4+4 = 8 chiffres . Il y en a 1060
Comme le diviseur 73  est commun  *² aux 1060 nombres ,je me demandais si dans
les autres tranches il y avait des exceptions  permettant de trouver  un minimum de
diviseurs.
Les démos faites sont claires.


*donc des nombres ayant un nombre pair de chiffres  (2n)


*² La bonne question aurait été pourquoi cette constante?

Posté par
matheuxmatou
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 18:08

dpi @ 20-03-2018 à 12:05

18711871 et constaté qu'il y avait  comme diviseur:
Bien sûr 1871 et donc son multiplicateur 18149
mais aussi 137 et  donc son multiplicateur  136583
mais surtout 73 et donc son multiplicateur  256327
Comme 73 est commun à tous les 8 chiffres ,je posais la question du minimum de
diviseurs  et je n'aurais jamais du préciser (qu'un seul)


oui mais bon, pose tes questions correctement ! surtout que je t'ai tout de suite demandé une confirmation de ton énoncé :

matheuxmatou @ 20-03-2018 à 11:16

tu veux dire :  "un seul diviseur différent de 1 et lui-même" ?


alors moi j'en reste à ta première question : c'est pas possible et pis c'est tout !

mm

Posté par
dpi
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 19:01

Posté par
matheuxmatou
re : Le premier dupliqué 20-03-18 à 19:01

pas grave !

Posté par
dpi
re : Le premier dupliqué 21-03-18 à 08:16

Suis-je étourdi???
Dans le cas de 4 chiffres soit  le facteur (duplicateur )10^{4}+1=10001
c'est logique que 73 soit un diviseur constant  puisqu'il est diviseur de 10001

En conclusion:

*Aucun nombre premier dupliqué ne sera premier (malgré l'apparence).

*tout nombre dupliqué de 4 chiffres aura 73 comme diviseur.

*tout nombre dupliqué aura comme diviseur  les diviseurs  de son duplicateur .



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