bonjours voilà j'ai un problème avec l'exercice connu de la bille dans le cylindre plein d'eau.

voilà le problème :
dans un récipient cylindrique de rayon 4 cm il y a de l'eau jusqu'à une hauteur de 3.75 cm.
on veut alors placer une bille dans le récipient de façon à ce que le liquide la recouvre exactement.
le but du problème est de déterminer le rayon de la bille.

je vous épargne la première question.

mais pour :
1) on note R le rayon de la bille . quelles sont les valeurs de R pour que la bille puisse être placée dans le cylindre. ?

2)calculer en fonction de R le volume d'eau. en déduire que R est solution de l'équation Rcube - 24R + 45 = 0 ?

j'ai lu tous les forums sur ce problème j'ai trouvé ça

Si R = 4 cm, la bille occupera tout l'espace l'intérieur du cylindre et l'eau ne pourra pas remonter, la bille restera sur l'eau.

2) Si R = 2 cm,

soit H, la hauteur de l'espace occupé par l'eau et la bille dans le cylindre,
soient Ve etVb, les volumes respectivement de l'eau et de la bille
soit Vt, le volume total de l'eau et de la bille

on a :

ok) Vt = Ve + Vb

ok) Vt = . Rc^2 . H (le produit est indiqué par un point)

ok) . Rc^2 : surface de la base du cylindre

ok) Ve = . Rc^2 . h ( h est la hauteur de l'eau dans le tube, sans la bille, h = 3,75 cm)

ok) Vb = (4/3) . . R^3 ( (4/3) . . R^3 : formule du volume d'une sphère)

ce qui donne :

ok) . Rc . H = . Rc^2 .h + (4/3) . . R^3 ( / représente le quotient, la division)


LA JE NE COMPRENDS PAS COMMENT S'EFFECTUE LA SIMPLIFICATION !!

?) on isole H et on simplifie /

?) H = h + (4R^3)/(3Rc^2)

Quand la bille est juste recouverte par l'eau, la hauteur H est égale à 2R ( 2 fois le rayon de la bille)

calculons H pour R = 2 cm

on trouve : H = 4,42 cm, on a H 2R

La valeur R = 2 cm n'est donc pas bonne.

La valeur de R est donc inférieur à 4 et supérieur à 2 : 2 R 4


3) Si R = 3 cm

on trouve , en reprenant la formule précédente :

H = 6 cm , ce qui correspond bien à 2R : H = 2R

3 cm est donc une valeur possible de R.


CONCLUSION :

Les valeurs possibles de R sont toutes les valeurs strictement inférieures à 4 qui vérifient la condition suivante :


JE NE COMPRENDS PAS LE FIN NI LA CONCLUSION !
est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer le fin de ce problème. en détaillant le plus possible les étapes car je suis totalement bloqué !!

Un grand merci par avance.