sans "vision" ni Xcas on peut trouver le "n² + 3n + 1" en appliquant la méthode de alb12 :

il est "évident" que si c'est un carré ce sera le carré d'un polynôme et les degrés font que ce polynome est forcément de degré 2 (pour que son carré soit un polynome de degré 4)

ce n'est pas la mer à boire, en effet, en imaginant qu'on développe (donc de tête, c'est plus long à expliquer qu'à faire)
le terme de degré 4, n^4, a pour coefficient 1 à gauche
et pour coefficient a² à droite
donc a = ± 1 et on peut choisir a = 1 sans risque (vu que le carre de -A est le même que la carré de A)

on trouve de même immédiatement que c = ±1 (mais cette fois-ci on ne peut pas imposer plus +1 que -1)
il reste donc le coefficient b à trouver
à droite le développement du terme en n donnera 2bcn = ±2bn, coefficient ±2b

à gauche le terme en n vient du terme constant d'un des produits (n+2)(n+3) par le terme en n de l'autre n(n+1) soit 6*n et d'aucune autre façon.
on a donc 6 = &pm:2b et donc b = ±3

il suffit de développer effectivement (n² ± 3n ± 1)² et n(n+1)(n+2)(n+3)+1 comme tu as fait pour :
avoir la valeur du signe ± encore inconnu
et en même temps prouver la propriété.

cette méthode ne nécessite pas de "deviner" le (n(n+3)+1)² ou autre formule obtenue par conjectures sur des exemples numériques (pratique si on n'arrive pas à les "voir")

on peut bien sûr faire encore plus "mécanique" en développant explicitement (an² + bn + c)² sans à-priori
et trouver a,b,c en résolvant le système d'équations obtenu en écrivant que les coefficients sont égaux à gauche et à droite du signe égal.