Bonjour

Essaye plusieurs fois avec 4 nombres que tu choisis.
Que constates tu ?
A toi de le démontrer.

1×2×3×4=24
3×4×5×6=360
5×6×7×8=1680
100×101×102×103=106110600

Je ne vois rien

A moins que le résultat soit toujours pair ?

Tu as oublié un truc.

Il faut que tu relises bien ton énoncé

salut

par exemple si tu fais   3*4*5*6 + 1   dans le produit t'a toujours deux nombres pairs
donc le produit est pair mais si on ajoute 1 au produit ,  l'ensemble est impair

Bonjour,

J'ai    a(a+1)a+2)(a+3)+1
C'est bien ?

Mais il y a mieux à considérer quand on n'oublie pas d'ajouter 1
25
121
361
841

Ça donne toujours un carré

2×(1+2)×(2+2)×(2+3)+1= 121
1×(1+1)×(1+2)×(1+3)+1=25

Très bonne idée.

Salut, il faut le démontrer ou simplement en déduire de quelques exemples(ce qui n'est en aucun cas une démonstration.)

??

D'où ma dernière phrase dans ma réponse de 22h08

Bonjour,

l'imagination nécessaire pour factoriser un polynome de degré 4 peut être remplacée par :

l'imagination pour observer sur les exemples numériques une particularité des carrés en question
en déduire une conjecture
puis démontrer (par calcul littéral) cette conjecture

c'est à dire préciser "un" carré trop flou pour être démontrée facilement en précisant lequel
il est alors bien plus facile de démontrer en développant que en factorisant.

que remarque-t-on sur ces carrés là :

1*2*3*4 = 25 = 5² sur "5" par rapport à 1,2,3,4
2*3*4*5 = 121 = 11² sur "11" par rapport à 2,3,4,5
3*4*5*6 = 361 = 19² sur "19" par rapport à 3,4,5,6
4*5*6*7 = 841 = 29² sur "29" par rapport à 3,4,5,7

* par rapport à 4,5,6,7
(phrase obtenue par recopie de la phrase 4 fois et pas modifiée correctement après le copier-coller)

Mathafou, pourquoi ne pas avoir mis " +1 " dans les calculs ?


Mon DM consiste à terminer cette phrase. Après il est clair qu'il faut justifier.

D'accord !

Alors selon vous, de quelle manière pouvons nous justifier ?

tu remarqueras j'espère que la valeur est juste (25 et pas 24) et que le +1 est juste oublié à la frappe (et pas dans les calculs)

pour l'instant la phrase est "terminée" par :
Le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1 est toujours un carré
(déja dit, c'est clair)
la compléter d'avantage "en mots" pour la rendre plus précise la rendrait incompréhensible.

on en est maintenant à la démonstration littérale de cette propriété

ce que je cherche à te faire faire c'est de remplacer la traduction floue de cette phrase

a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = m² qui ne dit rien à priori sur la valeur de m
par

a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = (une expression précise en a)²

pour cela il y a deux façons de faire

la brute :
je développe a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 et dans le polynome de degré 4 obtenu, je cherche à reconnaitre un carré, et ça c'est pas gagné d'avance du tout.

ou bien je cherche à conjecturer, par l'observation attentive des exemples numériques, quelle pourrait être exactement cette "expression en a"
la démonstration de cette conjecture est alors bien plus facile puisqu'il suffit de développer des deux côtés pour voir si ça donne le même polynome ou pas.

à toi d'aiguiser ton sens de l'observation sur ces exemples numériques et de compléter
1*2*3*4 + 1 = 25 = 5² comment obtenir "instantanément", sans le calcul effectif de 25, le "5" à partir de 1,2,3,4
2*3*4*5 + 1 = 121 = 11² comment "" "" le "11" à partir de 2,3,4,5
etc

une fois ainsi conjecturée (devinée) ce que pourrait être l'expression exacte de m
il te restera bien à la démontrer et comme j'ai dit c'est alors facile (un simple développement)

maintenant si tu préfères te lancer dans la recherche directe sur le polynome du membre de gauche libre à toi, bon courage.
je cherche juste à te faciliter la vie.

tu peux aussi tricher en demandant à Xcas de te le factoriser :
décocher sqrt dans la config
factor(a*(a+1)*(a+2)*(a+3)+1);
mais même comme ça le résultat obtenu est de peu d'intérêt car la forme sous laquelle il est fourni masque la vraie propriété.
(et personne ne croira qu'il est possible de deviner une telle expression)

et puis l'imagination ne marche bien que si on la fait travailler régulièrement, pas en faisant "imaginer" par une machine à sa place

Merci beaucoup.
Je travaille ça mercredi car demain j'ai 3 contrôles...

Bonjour, je ne trouve pas de lien entre par ex : 1*2*3*4+1=25 pour trouver le carré directement

un coup de pouce
intéresse toi plus particulièrement aux deux premiers nombres de la multiplication, et au résultat bien sûr...

calcules le produit du premier et du dernier nombre :

1*2*3*4 +1= 25 = 5² sur "5" par rapport à 1,2,3,4 réponse : 1*4 = ??
2*3*4*5 +1= 121 = 11² sur "11" par rapport à 2,3,4,5 réponse : 2*5 = ??
3*4*5*6 +1 361 = 19² sur "19" par rapport à 3,4,5,6 réponse : 3*6 = ??
4*5*6*7 +1= 841 = 29² sur "29" par rapport à 4,5,6,7 réponse : 4*7 = ??

conjecture :

a(a+1)(a+2)(a+3)+1 = (a(a+3)+1)²

ensuite tu n'as même plus à faire preuve d'imagination et de créativité : que du calcul bestial pour vérifier si c'est vrai ou pas.

malou : ??

malou : oui aussi a(a+1) + a + (a+1)
mais la mienne est plus simple.

salut,
apres avoir conjecture
on cherche a, b et c tels que n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(a*n^2+b*n+c)^2
ce n'est pas la mer à boire

certes non.

la conjecture portant juste sur le fait que ce serait un carré et pas sur le carré de quelque chose de précis.

si on est en panne de vision, faire comme ça brutalement est le bon plan pour gagner du temps au final, plutot que de sécher "longtemps" dans le vide.
mais avoir la vision directement de quel carré exactement va plus vite, si on a eu cette vision.

en écrivant ça (l'évidence que c'est fatalement le carré d'un certain polynome du second degré)
les coefficients a et c s'obtiennent immédiatement
reste à "deviner" la valeur de b avec un développement partiel (un des termes en n³, n² ou n)
puis l'incontournable vérification consistant à développer effectivement tout.
(partie commune à toutes les méthodes, ce développement incontournable)

personnellement je n'aurais donne que mon indication (ou une autre) en laissant l'eleve se debrouiller ensuite.
Certains ont tendance à recopier meme s'il n'ont pas vraiment compris.
C'est dangereux si le prof s'en rend compte.

... surtout si le prof surfe sur le net

Bon après-midi,

Nous pouvions tester: ,


Alain

l'excès de formalisme rend la chose incompréhensible.

pour conserver les commandes Xcas sur ce fil:

A:=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)
B:=developper(A+1)
factoriser(B)  // comme signale precedemment decocher Sqrt dans la Config

Bon,

Je suis rarement accusé de formalisme sur ce site...

Formulé autrement; en regroupant les facteurs opposés n(n+3)  et (n+1)(n+2) ,nous
remarquons que la différence des produits est 2  ,nous pouvons donc choisir x  tel que:
  

...

Alain

là c'est parfaitement clair
bien plus que des x|etc (c'était ça ma remarque sur le formalisme )

Bonsoir,

Tu as raison,.

Autre niveau;il y aurait peut-être une démonstration à partir de combinaisons  

Amicalement,

alain

Bonsoir,

Il faut arrêter de finasser; après une quarantaine de messages, on peut lâcher:

   à vérifier par le demandeur.

Il n' y a de toute manière plus aucune mèche à vendre...

Un peu beaucoup d'accord avec lake. Il y a un peu trop longtemps que le posteur n'a pas réagi !

Tout lui a été mâché ! Y a plus qu'à recopier.

je me demande bien ce qu'il va rendre à son prof
Un joyeux melange de tout ce qui a ete ecrit ?

Moi j'étais partie sur

(n (n+3) + 1)²

mathafoumathafoumathafoumathafou

phrase fausse
mais tu as sans doute compris, (j'espère !! surtout avec tout ce qui a été dit en plus là dessus !!)
c'est juste la façon de l'exprimer qui est fausse.

ta phrase veut dire que par exemple 4*7 est égal à 841 ("le carré" c'est 841) moins 1

le résultat est le carré du produit augmenté de 1 des deux nombres extrêmes
4*5*6*7 +1= 841 = 29² = (4*7 + 1)²

en vrai on n'en est plus là depuis longtemps dans la résolution du problème mais bien plus loin :
il faut maintenant faire le calcul littéral proposé (conjecturé), sous diverses formes équivlentes dans la discussion, pour le prouver.

Oui désolé je me suis mal exprimé

Mes amis ont tous développé pour obtenir x^4...

oui, développer (deja dit et répété)
qu'attends tu pour le faire ?

Je l'ai fait.
J'ai l'impression qu'il y a une erreur

a(a+1)(a+2)(a+3)+1
Me donne a^4+6a^3+10a^2+5a+1

faux
montre tes calculs intermédiaires

Je viens de le refaire j'ai :
a(a+1)(a^2+3a+2a+6)+1
a(a^3+3a^2+2a^2+6a+a^2+3a+2a+6)+1
a^4+3a^3+2a^3+6a^2+a^3+3a^2+2a^2+6a+1
=a^4+6a^3+11a^2+6a+1

J'avais fait une erreur bête avec 2*3=6 j'avais mis 5...

OK.

fais pareil avec le second membre "deviné" (une des conjectures, par exemple que ce serait (a(a+3)+1)² )