Bonjour ,

>>>  Nous SAVONS que -3^2 = -(3^2), donc ...

Cela me parait curieux .

Cordialement

Eh bien, cela met de l'eau à mon moulin, ce n'est pas si naturel que ça !

Pourtant, si f(x)=-x^2, f(3) = -3^2 = -9 = -(3^2)

salut

de même que j'ai appris à calculer (3 + 2) * (7 - 4) j'ai appris à calculer (2 - 5) * (7 - 4) = (-3) * (+3)

ensuite j'ai appris par la règle des signes que (-3) * (+3) était l'opposé de 3 * 3 donc à -(3 * 3)

puis ensuite j'ai appris à supprimer les parenthèses inutiles ...

Ok, ensuite tu as appris que

(-3)^2 = (-3)*(-3) = 9

-(3^2) = -9

Comment as-tu appréhendé (au collège, disons) l'expression -3^2 ?

Il ne s'agit plus d'enlever des parenthèses mais de les remettre, ce qui est moins évident !!!

connaissant la priorité des opérations

- 3² est l'opposé de 3²


ou encore -3² = 0 - (3²)

Tu n'as pas vraiment lu mon premier message, n'est-ce pas ?

Pour moi, le problème est qu'on apprend, au collège, avec la multiplication que

-3 * 7 = (-3) * 7

Comme si on multipliait le nombre -3 et le nombre 7

Et que du coup, naïfs qu'ils sont, ils vont légitimement considérer que

-3 ^ 2 = (-3) ^ 2

Car pour eux "-3" est un tout, puisque c'est le nombre -3


Comment expliquerait-tu à un élève que, dans l'expression -3^2, le "-" et le "3" ne sont pas collés ?

Pour moi , s'il n'y a rien devant et rien derrière  , -3²   donne  9 .
Par contre   10 - 3² = 1    et  -3² + 1 = -8  (priorité des opérateurs)
(-3)² + 1 = 10

si j'ai lu ton premier msg ... et j'y ai répondu ...

les élèves ne sont "naïfs", c'est simplement qu'ils ne savent pas lire, écrire, compter, calculer ....

et s'ils ne savent pas faire la différence entre un * et un ^ c'est simplement qu'ils ne savent pas lire associé au fait qu'ils ne connaissent pas la priorité des opérations

-3² = -(3²)  priorité des opérations
     = -9

Tu fais les mêmes erreurs que mes 1ère ES !

Pourtant, si -3² donne 9, je ne vois pas comment -3² + 1 donne -8 !!


Je t'assure que -3² = -9 !!!!


Pour t'en convaincre, dis toi que -a^2 = - (a^2)

Avec a=3, -3^2 = -(3^2)

Bonsoir,
en lisant ce fil j'ai l'impression d'assister à un dialogue de sourd.
carpediem dit et celastus répond mais non

Oui, un dialogue de sourd, accentué par le fait que dans mon dernier message je répondais à fm_31 et qu'un message de carpe_diem s'est glissé entre les deux.

Sinon, merci verdurin, je vois que ma question n'a pas grand sens, soit on est dans un anneau et c'est pareil, soit on n'y est pas, et qu'est-ce qu'on peux dire ?


Bref, je vais continuer à chercher, à affiner mon explication du -3^2=-9

Bonjour,

Tapez donc ce calcul sur une calculatrice Texas Instrument, vous aurez votre réponse...

C'est super pédagogique ça !!! C'est comme ça que vous expliquez les maths à vos élèves ? Tapez sur votre TI ?

Pourquoi - par - fait + ? tapez sur votre TI !

Pourquoi on n'a pas le droit de diviser par 0 ? Demandez à votre TI !

Pourquoi 5-7 = -2 ? Demandez à votre TI !


Non, mais franchement... une réponse pareille...

Bonjour,

Au delà du fait que je trouve votre réponse franchement limite (vous n'êtes pas un collégien, que je sache ?), je vous invite à relire et reconsidérer la mienne...

Et puisque vous avez visiblement besoin qu'on vous aide à comprendre les entre-lignes, je n'ai pas écrit "demandez le résultat à votre calculatrice" mais bien "tapez ce calcul (sur une TI)". Il n'est même pas nécessaire d'aller jusqu'à taper "égale" ou "exe" pour s'en rendre compte... Vous auriez alors, par vous-même, compris en quoi ma remarque pouvait faire avancer votre réflexion.

Maintenant, chacun voit pédagogie là où il veut. Pour certains, elle se résume à apporter des réponses fixes, pour d'autres, elle consiste à guider la réflexion pour que l'élève construise lui-même une réponse qu'il comprend (et validée par le pédagogue)...

A boby : desolé pour mon ton un peu sec, j'ai sans doute mal pris (et surtout mal compris) votre message.

Je vous remercie donc d'avoir été plus explicite, cependant je crois que je n'ai toujours pas compris en quoi utiliser une TI ferait avancer ma réflexion...



A carpediem : cela ne viens pas si naturellement, visiblement, puisque beaucoup d'élèves se trompent.

Jouons le candide : le signe ^2 signifie multiplier le nombre par lui même
Si je prends le nombre -3, cela me donne -3 * -3 = 9

Tout la difficulté pour moins viens dans le fait qu'il faut appréhender le "-" du "-3^2" comme désignant l'opposé de 3^2 (comme vous l'avez fait) et non comme le nombre -3, ce qui est visiblement très tentant.

Car aucun élève ne me dira pourtant que -x^2 = (-x) * (-x) = x^2

C'est donc bien le "-3" qui les perturbe.

Bref, merci à tous pour vos explications, en tout cas.

Pourtant, en tapant ce calcul, vous avez du faire un choix entre les deux (et non pas trois) signes - d'une calculatrice TI. Sur une Casio, le problème se pose moins souvent.

D'ailleurs, la documentation d'accompagnement des programmes de collège "Les nombres au collège" () préconise d'aborder les nombres négatifs par l'utilisation de la notation opp(a) pour désigner l'opposé du nombre a sans créer d'ambiguïté quant au symbole - ...

Je comprends mieux, j'ai en effet choisi le "(-)" qui désigne l'opposé et non le "-" qui désigne la soustraction

Il est clair qu'il n'y a que deux signes "-", l'un pour l'opposé et l'un pour la soustraction le "-" de "-3" et celui de "-x^2" étant le même.

Le fait d'utiliser "-3" pour désigner un nombre négatif est la source de l'ambiguïté. On pourrait croire qu'il y a trois signes "-".

Cependant, la TI ne m'aide pas tant que ça, puisque (je fais de nouveau le candide) j'ai bien choisi le "(-)" pour écrire "-3", et j'ai ensuite tapé "²" pour mettre mon nombre au carré.

Je ne connaissais pas cette préconisation pour les nombres négatifs. C'est sur que ça lève cette fameuse ambiguïté entre opp(3^2) et opp(3)^2

Tiens, amusant, dans le guide de la TI, ils donnent exactement le même exemple que moi : http://jgaltier.free.fr/Seconde/Annee_2009_2010/calculette_scientifique.pdf

Intéressant, ce document ()

Pourtant ils tombent d'une certaine façon dans les même travers, je cite :

"La question de la désignation des nombres négatifs et des opposés est délicate.
On peut choisir, au début, de noter opp(a) l'opposé du nombre a. Cette notation sera, un peu plus tard, remplacée par la notation -a, en ne négligeant pas d'aborder avec les élèves les différentes significations que prend alors le signe - :
• marqueur d'un nombre négatif dans -7,1 ;
• signe de soustraction dans 0 - 7,1 comme dans 20 - 27,1 :
• marqueur de l'opposé, par exemple pour écrire que -(-7,1) est l'opposé de -7,1 et donc que -(-7,1) = 7,1.

La difficulté apparaît notamment pour les élèves lorsque la première et la troisième signification interfèrent, avec la notation - a (opposé de a) qui peut aussi bien représenter un nombre négatif qu'un nombre positif."

Ils voient 3 signes "-"...

il est clair qu'on peut concevoir un certain problème épistémologique avec l'introduction des nombres négatifs ... pb qui n'existait pas ou peu à mon époque dans une certaine mesure pour deux raisons essentielles ::

les élèves savaient lire
les élèves savaient calculer

en gros on possédait des structures solides .... qui n'existent plus actuellement ... et je suis heureux de ne pas être en collège ...

ne pas oublier non plus que les premières calculatrices ne faisaient aucune distinction entre les signes (il n'y avait qu'une touche comme sur les ordinateurs) ... il n'y avait donc aucun pb qui je pense est accentué avec ces deux touches ....

mais on savait de quoi on parlait quand on tapait -3² bien sur ...

effectivement un nombre négatif ne pouvant guère est "visualisé géométriquement" il fallait passer par l'abstraction qu'on a perdue aujourd'hui .... _{^{ce n'est qu'un constat ... enfin si une critique aussi ...}}



la question simple est :

si j'ai 5 billes et que j'en perds 2 alors combien m'en reste-t-il ?

qui se résout en effectuant la soustraction 5 - 2 = 3

mais

si j'ai 2 billes et que j'en perds 5  alors j'effectue la même opération évidemment donc 2 - 5 .... mais qu'est-ce que veut dire cette opération ?


bon courage ...

Oui, ils parlent de trois symboles dans la doc, mais en lisant la suite, ils n'en utilisent que deux (et la notation opp()).
Et ça devient encore plus "tordu" si on respecte les indications pour élargir addition et soustraction (déjà connues) aux nombres négatifs tout en conservant leur définition actuelle au collège...

on revient au pb de la lecture :: celui qui sait lire reconnaît (donne du sens) aux écritures

5 - 3   ou   3 - 5

et

- 5

avec la simple définition :: on appelle opposé de a le nombre noté -a

et la propriété a + (-a) = 0

....

C'est un peu plus complexe que ça quand même, puisqu'en l'occurrence la difficulté venait des priorités données aux opérateurs (la puissance a priorité sur la soustraction et sur le "-" désignant l'opposé).

Et il faut ensuite reconnaitre que le "-" de "-3" est bien le moins qui désigne l'opposé et pas un tiret qu'on a mis devant le trois pour désigner le nombre "-3"

Il faut donc désapprendre un peu, car l'introduction des nombres négatifs dit bien qu'on met un signe "-" devant un nombre pour désigner son opposé.

Plus tard viens le "-x", c'est là qu'on apprends que le "-", devant une expression, désigne en général l'opposé de cette expression.

D'une certaine façon, le mal est fait, et l'élève aura donc naturellement du mal à décoller le "-" et le "3" dans -3^2

J'ai tendance à me répéter, je sais, c'est normal.

En résumé , la règle de priorité des opérateurs semble suffire .
-3² devient -(3²)  différent de (-3)²

c'est surtout le manque de pratique du calcul signé ....

(-3) + (+4) - (+7) + (-2) - (-3) = ....

Je pense que vous remontez un peu loin là.

Le problème que je soulève se pose uniquement si, dans une expression littérale, remplacer -3 par (-3) change la valeur de l'expression.

Dans le cas d'additions/soustractions/négations, ça ne change rien

-3 + 4 = (-3) + 4

-3 * 4 = (-3) * 4

Ce n'est QUE dans le cas d'une puissance que cela va changer le résultat de l'expression

-3^2 <> (-3)^2

En fait ce cas est TELLEMENT particulier que je me rappelle, quand j'étais au collège, après m'être fait piéger moi aussi, avoir appris par cœur (faute de mieux) que -7^2 = -(7^2). Et jurant, par là même, qu'on ne m'y reprendrait pas !

boby6> bien vu, "décoller" de trop pourrait faire croire que -3 + 4 = -(3+4). Ce qui serait dramatique...

Ce qui complique le jeu c'est les priorités des opérateurs et leurs définitions. avec l'adjonction du "-" qui a deux sens

:?

il est évident que ce que j'ai fait avec l'addition se généralise avec le produit et la règle des signes

la pratique de calcul élémentaire du genre

(-3) * (+2) =
(-5) * (-7) =

....

(+3)² =
(-3)² =

puis

- 3² =

conduit à distinguer les notions ...

Bonsoir,

La clavier de la TI82 distingue le signe du nombre relatif
négatif (-) et le signe d'opération - .

Pour la puissance La cohérence n'est pas assurée ,le calcul nous donne:




Alain

il est évident (quand on sait compter) et en particulier quand une machine ne possède qu'un seul signe - que la soustraction - 3² est interprétée 0 - 3² ...

avec un deuxième signe "-" alors "-" 3² est interprété comme "l'opposé de " 3² ...

"Il est évident que", ce n'est pas très didactique !!!

Ça me rappelle la blague : tout démonstration de théorème peut commencer par : "il est trivial que..."

tout nombre est le double de sa moitié et tout nombre positif est le carré de sa racine carrée sont deux trivialités fondamentales pour factoriser un trinome du second degré ...

de plus associées aux identités remarquables de collèges les formules du trinome (l'expression je fais le delta me désole profondément quant au niveau intellectuel de nos élèves) deviennent quasi superfétatoires dans 101,9999% des cas de trinome du second degré au collège ...

malheureusement peu les connaissent ....

... dans 101,9999% des cas de trinome du second degré au collège ... au lycée pardon ...

Je pense que le problème vient de ce que, lorsque T désigne une opération, la sémantique du "-" apparaissant dans l'un des opérande dépend de l'opérateur T (ce qui en un sens est effet de bord un poil aberrant):
-3^2-> -(3^2)  et pas (-3)^2;
-3*2 -> -(3*2) mais aussi bien (-3)*2 ;
-3+2 ->  (-3)+2 et surtout pas -(3+2).....


Et pour un opérateur moins standart, mettons (dans le sens de "min" et pas "pgcd"), comment on interprète la chose ? , cela fait-il ou ?

D'autant qu'il y a des cas où -3T2 ne sera à interpréter ni comme (-3)T2 ni comme -(3T2), mais "à moitié de l'un, à moitié de l'autre", par exemple si je définis xTy = x^y/(x+y)...

Il faut à mon avis accepter de bien humblement reconnaître que dans chaque cas deux choix au moins seraient légitimement possibles, mais que pour éviter le syndrome de la tour de Babel on a dû poser des conventions, qui comme toutes conventions sont criticables, pas forcément très logiques, imparfaites, arbitraires... Mais qui sont ce qu'elles sont, qu'il faut donc clairement expliciter, connaître et, ensuite, appliquer:

Ceci dit, je ne sais toujours pas combien font .

Bonjour,


La remarque de 'carpediem' :  "savoir aussi remettre les parenthèses" est très éclairante pour
cette interrogation sur le signe d'une expression:



et plus généralement pour la valeur d'une expression:



**Elle nous permet d'effectuer un calcul pertinent**



Alain

Pour éviter toute ambiguïté , si la règle des opérateurs n'est pas évidente , on peut mettre des parenthèses . Il vaut mieux 2 parenthèses en plus qu'un manque de clarté .

(Jamo, si tu passe par là, voilà en fait mon problème)

A mon niveau actuel Terminale S, quand je vois 2-3, qu'est ce que je dois voir ?
La soustraction de deux nombres positifs, 2 et 3, ou l'addition d'un nombre positif, 2 et d'un nombre négatif, 3.

Le problème vient de l'écriture simplifiée d'une somme algébrique.

(Tout en sachant que je demande ça, pas juste pour pouvoir calculer pour calculer, mais comme base pour les autres leçons.)

En effet :

En 6ème, on ne connaît pas les nombres négatifs "officiellement". ("Officiellement", car en réalité, l'élève "a senti" qu'il y avait quelque chose.)
En 5ème, nous apprenons cette écriture lourde avec parenthèses et légion de signes.
Puis l'écriture simplifiée.

Nous passons par exemple de :
6-8 (6ème)
à (+6)-(+8) (5ème). Ceci équivaut à (+6)+(-8) car soustraire un nombre revient à additionner son opposé.
Puis enfin à 6-8. (4ème). On revient à la case départ, mais on lit cela différemment !
On doit lire cela (en tout cas selon mon prof de l'époque) comme une somme de deux nombres relatifs. Les signes que l'on voit sont ceux de nombres relatifs. Les signes d'additions et les parenthèses sont sous-entendus!
Le comble est que j'entends des gens dire que cette méthode induit l'élève en erreur... Surement pas !
Certes, il y a une sorte de rupture logique car on voit une suite de nombres sans lien à prime abord, mais tout est logique !

Le problème est que la moitié des gens que je connais et des cours sur Internet voient cela comme une soustraction... A quoi bon étudier les relatifs si l'on revient à une banale soustraction niveau 6ème, sans tenir compte des signes des nombres ?
(A l'écrit, j'utilisais "ma" méthode, mais dans ma tête, bien sur je fais une soustraction, ça va plus vite.)


Comment voyez vous 6-8 donc ?

Encore une fois, ces gens qui disent que c'est une soustraction, et que l'on ne doit pas tenir compte des signes des nombres, nous disent très naturellement, que quand on voit 6-8-9+7 on doit considérer les signes devant les nombres comme leur appartenant ! C'est un gros contre-sens logique en totale contradiction avec ce qu'ils disaient au quart d'heure d'avant !

De plus dire que l'on sépare les signes ne nous aide pas pour la suite, exemple :
f(x)=ax+b
f(x)=2x-3
Comme certains prennent le malin plaisir de répéter qu'une somme algébrique, c'est "soustraction et addition", donc en gros que c'est la même chose, des élèves, en suivant cette logique nous disent qu'ici le b correspond à 3 et non à -3 !
Or toute notre scolarité est foutue si l'on résonne comme cela !

Or c'est très simple, il n'y a pas a s'éparpiller dans des dizaines de règles aussi diverses que variées.
Pour simplfier une somme algébrique, il suffit de dire :
1) Qu'un nombre positif en début de somme s'écrit sans signe. De même lorsqu'il est seul. (Exemple : lorsque l'on donne le résultat)
2) Qu'un nombre s'écrit toujours avec son signe. (Oui, même les positifs. Car je sais que ce n'est pas très logique de dire +5 degrés mais si l'on supprime les signes d'additions (étape suivante), il faut bien un lien logique !)
3)Qu'on supprime les parenthèses et les signes d'addition.
4) Que si il y a une soustraction, on la transforme en addition de l'opposé.
5)Que ce n'est pas un retour à la somme "arithmétique". En ce sens que sa lecture est différente.

Pfiouuu.... J'ai vraiment peur pour l'année prochaine.... Car si je me dis que les mêmes qui ont fait ces programmes totalement casse-tête sont aussi ceux qui ont fait ceux de Terminale...
Car faire son cours soit même sur les relatifs, ça va, mais sur les limites ou les intégrales, on est vite lâchés...

Et quand je vois qu'ici on parle aussi du moins de l'opposé, alors là je suis perdu...

NB : La façon de voir les identités remarquables en 3ème conforte l'élève sur le fait que le signe n'est pas accroché au nombre dans la somme algébrique simplifiée...
Oui car dans (a-b)² (on pourrait tout simplement dire que c'est un cas particulier de la première identité remarquable avec ici un -b (en précisant bien que b est strictement positif est qu'on lui associe le signe -) et basta... mais non, faut faire compliqué...) on est obligé de dissocier le b du moins...
Afin de trouver a²-2ab+b². Beaucoup de profs font la démonstration géométrique de ces identités, mais pas la démonstration algébrique.

Or : (a-b)²=(a-b)(a-b) et en développant, cette fois en associant le signe au nombre (voyez comme c'est casse tête si de base, on apprend à dissocier ce signe) on obtient : a*a+a*-b*a-b*(-b)=
a²+(-b)²+2*(-ab)=a²-2ab-b² Oui,oui, vous avez bien lu, -b². Car on a convenu au préalable de dire que les signes d'addition sont supprimés et que b est positif ! C'est donc un "+(-b)²". Comme on sait qu'un carré est positif, on sait que le résultat sera positif et on met un signe plus et on obtient a²-2ab+b²

Autre chose : ce sujet est aussi débattu ici :www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,838190
Et ce que je souligne est exactement dit dans le paragraphe 3) de ce document.
http://irem2.univ-poitiers.fr/irem/publicat/brochure/relatifs_college/relatifs_college_intro.pdf

un nombre négatif est une vue de l'esprit : ça n'existe pas ... tout comme les nombres complexes c'est une construction de l'esprit, une abstraction ...

la soustraction, tout comme la division, n'existe pas : il existe deux opérations naturelles l'addition et la multiplication

pour ces deux opérations il existe pour tout nombre un inverse algébrique (appelé opposé pour l'addition)

le reste n'est qu'un jeu intellectuel d'écriture de ces opérations ....

8 - 6 = (+8) + (-6) = ... = 8 - 6 tout simplement

6 - 8 = (+6) + (-8) = -(8 - 6)

mais il est autrement plus simple de parler de la division de a par b noter a/b que du produit de a par l'inverse du nombre b ....

C'est tout de suite plus simple car j'admettais que la soustraction existait.
(Au demeurant personne en cours ne dit ça faut donc chercher 5 mois sur internet pour en être sur...)

Ce que je mettais en évidence, c'est que nous avons des règles pour additioner des relatifs deux à deux. Pour soustraire il suffit de transformer cette ''soustraction'' en addition et d'utiliser les mêmes règles.
Quand nous avons une suite d'addition (après avoir transformé les soustractions en addition de l'opposé donc) on peut la simplifier en enlever LES SIGNES D'ADDITION ET LES PARENTHESES. Ils sont désormais sous entendus.
Et quand nous voyons cette somme algébrique simplifiée, chaque signe que nous voyons appartient à UN NOMBRE.
Donc on applique les règles habituelles sur l'addition de relatifs. (En 5ème-4ème bien sur car plus tard, comme on connaît les règles, c'est plus rapide de faire une soustraction de tête et non pas ''l'addition de deux nombres relatifs qui peuvent être de signes différents.)
On applique ces règles donc.
Mais j'ai l'impression qu'il y a un ''schisme''.
50% des profs se ramènent à la situation où nous avons une soustraction de deux nombres positifs de 6ème après être passé en écriture simplifiée.
Je demande juste pourquoi, à ce moment là, ils refusent d'utiliser les règles sur les relatifs, nient l'existence des nombres négatifs.
Comme ça dans la tête bien embrouillée de l'élève c'est ''comme avant''. N=Z quoi...

En gros et plus rapidement : A quoi ça sert de passer deux mois sur une chaise à faire des calculs sur les négatifs si c'est pour les renier le mois suivant !?

Désolé du double-poste mais j'ai oublié quelque chose.
Pourquoi ne dit on pas que la seconde identité remarquable est un cas particulier de la première et pour surtout ne dit on pas que b à l'inverse de a, doit être stritement positif ? Car il y a un moins devant)

je ne comprends pas ce qui te gène ...

soit on sait ce que signifie cette convention d'écriture 6 - 8 (parce qu'on a vu les nombres relatifs)

soit on n'a pas vu les nombres relatifs et on ne sait pas ce que signifie 6 - 8 (même si certains peuvent le deviner)

....

quant aux identités remarquables la distinction vient simplement des signes même si l'une se déduit de l'autre ....

on peut tout de même remarquer qu'une distinction de signe n'est pas inutile ::

est toujours factorisable

n'est pas toujours factorisable

.....

En fait le signe moins devant un nombre signifie qu'il est multiplié par -1, mais on écrit pas l; même pour les positifs, si l'on simplifie 2/4, on est bien obligé de considérer que 2=1x2.
Donc -3²=-1x3²=-1x9 (prorité)=-9;
quand à 3x(-7)=3x(-1)x7= par exemple c'est -1x3x7=-1x21=-21 et si on enlève un signe - devant une parenthèse, on développe par -1;
le problème est plus délicat avec des quotient puis que la division par -1 ou la multiplication par -1 est la même opération.

Bonsoir,

Je n'ai pas lu toutes les réponses, mais pour moi, il n'y a qu'une seule signification au signe -  celui qui signifie "l'opposé"" , car dans les réels (donc dans les entiers, les rationnels etc ..) , il n'y a que 2 opérations : l'addition et la multiplication ....

Mais cela dû être dit plusieurs fois !

- signifie opposé de ce qui suit !

Lorsque l'on résout -4x=-2, les élèves qui aboutissent à x=-2/-4 ne savent pas quoi faire des signes "-", parce qu'ils ne connaissent pas la règle des signes avec un quotient. Il serait illusoire d'essayer de leur prouver que leur résultat est le produit de -2 par 1/-4 et que 1/-4 a le même signe que -4,parce que (1/a)a =1; c'est bien trop subtil à ce niveau là (seconde); donc -2=-1x2 et -4=-1x4 donne -1x2/-1x4 et l'on simplifie par -1 ce qui donne 2/4 et même peut-être 1/2. La règle des signes est de toute façon mal-connue et je pense que donner au signe "-"le sens de la multiplication par -1 (ce qui est une évidence) peut permettre aux élèves la maîtrise minimale de la règle des signes qui ne pourra s'acquérir qu'en faisant beaucoup d'exos. (Il n'y a pas de secret). de toutes façons, sur l'axe réel, prendre l'opposé, c'est faire une homothétie de centre 0 et de rapport -1. En ce qui concerne la somme de 2 relatifs, je n'ai pas de recette miracle, à part faire un dessin (6-8 correspond à se déplacer de 6 unités vers la droite puis de 8 unités vers la gauche).

Tout ça était longuement travaillé au collège, il y a peu de temps, mais maintenant, savoir calculer est devenu inutile!

Francchoix, pour la somme de relatifs, avec ton exemple :
6-8.
J'ai cru pendant des années que c'était La soustraction de 6 et 8. Que le signe moins, indiquait un lien clair, une opération entre les deux chiffres.
On m'avait également dit que l'addition et la soustraction pouvaient être rassembler sous la même opération, la somme algébrique, avec en commentaire : "En gros, la soustraction et l'addition c'est à peu près pareil".

Un problème s'est posé lorsque j'ai commencé à étudier les fonctions : Si une fonction est du type ax+b, comme 6x+2, pour moi a était égal à 6 et b à 2. Jusque là, rien de bien difficile.
Mais si j'ai 6x-2, comme on m'avait dit que addition et soustraction étaient réunis sous la même bannière, la somme algébrique, je répondais tout naturellement que a était égal à 6 et b à 2 et non -2.

Voilà, en substance, les problèmes causés aux élèves en parlant de soustraction et non de l'addition d'un nombre négatif.

Ensuite, il y a quelques temps, je suis allé voir quelques cours sur Internet, tant sur des sites, que des vidéos ou des PDF.
Et bien on dit tout et son contraire.

J'ai été interpellé par une règle : Avant de découvrir les relatifs, pour les différentes opérations, nous avons deux nombres (sans signe car forcément positifs) et un signe d'opération qui les lie et montre l'opération effectuée.
Maintenant que l'élève connait les nombres relatifs, c'est à dire en 5ème, au lieu d'avoir des écritures lourdes du genre (+6)+(+3)-(+5)-(-8), il suffit 1) de transformer les soustractions en additions
2) de supprimer les parenthèses et les signes d'ADDITION
3) de supprimer le signe du premier nombre s'il est positif
On obtient donc : 6 + 3 - 5 + 8
(J'ai par la suite appris à mes dépend qu'il valait mieux utiliser cette écriture, qui est l'écriture simplifiée d'une somme algébrique, et qui se lit différemment que si l'on était en 6ème. C'est à dire qu'il y a des nombres négatifs et pas de sosutractions)

(Avant de continuer : ces règles sont justes ? Sinon, quelles sont les vôtres ?)

Au début, j'ai été assez dérouté, car cela me semblait assez bizarre qu'il n'y ait pas de "lien", de "quelque chose + quelque chose", je trouvais bizarre le fait "d'énumérer des valeurs absolues et leurs signes sans donner le lien entre elles, ici l'addition. (Même si c'était sous-entendu)
Ca me semblait également étonnant que quand on dit "6 + 5" le plus signifie "le signe du 5" et non l'opération entre deux nombres, surtout que quand on faisait "l'extraction" à l'oral d'un des nombres on ne disait pas le signe. Par exemple : "Que pensez-vous du 5 dans cette expression ?" et non pas Que pensez-vous du +5 ?"
Enfin l'écriture : Si on enlevait les signes d'ADDITION, pourquoi on écrivait toujours les signes + et - des nombres relatifs comme si c'était des signes d'opérations ? C'est à dire de cette manière : "6 - 5 + 3" et non pas de celle-ci : "6 -5 +3".

Mais par la suite, j'ai remarqué que c'était la meilleure, et la seule des méthodes qui marche vraiment et n'induit pas l'élève en erreur.
Le fait que certains livres et professeurs disent : "j'enlève" pour symboliser les nombres négatifs dissocie totalement la valeur absolue du signe. Et donc, dans l'exemple plus haut, avec la fonction, on se trompe...
Cela est accentué avec les identités ou on sort du chapeau une seconde identité remarquable en dissociant le - du b, sans préciser que dans ce cas b doit être positif, et sans dire que c'est tout simplement un cas particulier de la première identité remarquable avec un b négatif, c'est tout !
J'ai vraiment reconsidéré ma vision des maths après ça : avant j'avais un "logiciel" arithmétique. C'est à dire en calculant le plus vite possible dans ma tête, en travaillant "étape par étape" (c'est à dire j'ajoute 5, puis 3, etc... ) au lieu de penser algébriquement avec des mises en équations.

J'ai regardé des vidéos de post-bac, et j'ai vu que l'on ne considérait que 2 opérations : l'addition et la multiplication.
Car la soustraction est l'addition de l'opposé.
Pour la division, par contre je doute. Car 4/2 = 4*1/2 en gros 4 fois une autre division.  A moins de prendre en compte l'écriture 0,5.

Mais même dans ces vidéos, certains utilisent le terme "soustraction".

En somme, et pour résumer tout ce commentaire, pourquoi ce manque de logique au collège ?!

Pourtant, ce problème de relatifs et de somme algébrique et d'écriture simplifiée pourrait se résoudre en deux temps trois mouvement.
En effet, en utilisant les règles sur les parenthèses, que nous apprenons, grâce à la gracieuse Education Nationale, avec le calcul littéral et séparément des relatifs !

Pourtant : (+5)-(+4). Voilà une expression non simplifiée. Pour la simplifier, au lieu d'utiliser des règles supplémentaires sur les relatifs, pourquoi ne pas utiliser la règle disant que pour enlever une parenthèse, on change les signes des nombres contenus dans une parenthèses si celle-ci est précédée du signe - ?
Ca devient +5 - 4 donc 5 - 4.

Pourquoi donc tourner autour du pot ?!

Bonjour