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Niveau troisième
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Le théorème de Dasargues - théoriquement possible

Posté par
PasThales
17-11-18 à 15:45

Bonjour à tous et à toutes,

Le DM avance à petits pas ... mais j'ai besoin d'un minuscule piste encore. Et voilà le théorème de Desargues :

Sur la figure (attachée) :

- B [OA), D [OE) (...oui, on peut le voir...mais maintenant vous êtes rassurés...)
- (AC)(BD) et (CE)(DF)

Montrer que (AE)(BF)

Le théorème de Dasargues  - théoriquement possible

Posté par
PasThales
re : Le théorème de Dasargues - théoriquement possible 17-11-18 à 15:59

Mon idée :

Si (AC)(BD) et (CE)(DF), ça veut dire :

\frac{(OA)}{AB} = \frac{(OC)}{(OD)}
et

\frac{(OE)}{(OF)} = \frac{(OC)}{(OD)}

et par conséquent

[tex]\frac{(OA)}{AB} = [tex]\frac{(OE)}{(OF)}  et pour les droites (AE) et (BF), il faut

(AE)(BF)

Que pensez-vous ?

Quelle est la relation avec M. Desargues ???

Posté par
PasThales
re : Le théorème de Dasargues - théoriquement possible 17-11-18 à 16:09

J'ai constaté qu'on ne peut pas lire la consigne:

B [OA), D [OC) et F [OE)

(...)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le théorème de Dasargues - théoriquement possible 17-11-18 à 18:37

Bonjour,

aucune si ce n'est que le vrai théorème de Desargues (l'un de ses théorèmes) dit la chose suivante

Le théorème de Dasargues  - théoriquement possible


si les deux triangles ACE et BDF sont tels que (AB), (CD) et (EF) sont concourantes en O, alors les points d'intersection des côtés homologues (AE) avec (BF) d'une part, (AC) avec (BD) d'autre part et (CE) avec (DF) sont alignés
et vice versa (si ces intersctions sont alignées, alors (AB) etc sont concourantes

on dit que les triangles ACE et BDF sont "en perspective"
quel rapport avec l'exo ici ?

c'est que des droites parallèles sont considérées comme "se coupant à l'infini" et que les points I, J,K du théorème de Desargues sont ici rejeté sur une droite entièrement à l'infini (la "droite de l'infini")
et tout ceci est largement au delà du niveau collège (c'est de la géométrie projective)

alors ici on se restreint au cas particuliers de ces points à l'infini sans le dire en considérant simplement des parallèles et Thalès sans état d'âme (et sans invoquer bien sûr Desargues sauf pour semer la pagaille dans les esprits).

nota : le théorème peut se comprendre si on considère cette figure plane comme une vue en perspective de la pyramide OBDF coupée par le plan (ACE), l'intersection de ce plan (ACE) avec le plan de la base (BDF) est une droite dans le cas général.

dans notre cas le plan (ACE) est parallèle au plan (BDF) car une paire de droites de l'un (AC) et (CE) sont respectivement parallèles avec une paire de droites de l'autre (BD) et (DF)
et donc les intersections de ces deux plans parallèles (ACE) et (BDF) avec (OBF) sont deux droites parallèles (AE) et (BF)

Posté par
PasThales
re : Le théorème de Dasargues - théoriquement possible 17-11-18 à 20:12

Merci, mathafou! Puis-je vous demander de confirmer me calcules, SVP ? Est-ce que vous avez le temps de m'aider avec l'autre exercice aussi ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le théorème de Dasargues - théoriquement possible 17-11-18 à 20:45

je les avais regardé un peu en diagonale seulement ...

en collège il est important de savoir "réciter" correctement le théorème de Thalès officiel et pas une "variante perso" ...


\frac{(OA)}{AB} = \frac{(OC)}{(OD)} faux

d'abord (OA) veut dire la droite (illimitée) (OA) et une droite n'a pas de mesure
la mesure du segment [OA] s'écrit OA sans rien autour.
ensuite Thalès n'est pas ça du tout (faute de frappe ?? j'espère ..)

\frac{(OE)}{(OF)} = \frac{(OC)}{(OD)} OK en virant les parenthèses pour parler des mesures des segments.

et par conséquent

\frac{(OA)}{AB} = \frac{(OE)}{(OF)} faux car recopie de la "faute de frappe"

et pour les droites (AE) et (BF), il faut (AE)(BF)

???? ne veut rien dire du tout

on demande de le démontrer (que (AE)(BF) )
pour cela on utilise la réciproque du théorème de Thalès :

si O,A,B alignés dans cet ordre et si O,E,F alignés dans cet ordre et si

\frac{XX}{XX} = \frac{OE}{OF} (une fois corrigé la faute de frappe)
alors (AE)(BF)



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