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le triangle de sierpinski
Le triangle de Sierpinski :
On dispose au départ d'un triangle équilatéral de côté 3 cm dont l'intérieur est noir.
A la première étape, on construit le triangle des milieux que l'on colorie en blanc.
A la deuxième étape, on répète l'opération précédente pour chacun des trois triangles noirs de l'étape 1.
Et ainsi de suite... indéfiniment ! Le dessin ci-contre est celui qui correspond à la 5ième étape.
On s'intéresse aux triangles blancs T₁ construits lors de la n-ième étape.
Pour n ≥ 1, on désigne par u, le nombre de triangles T₁, par p, le périmètre et
par a l'aire d'un triangle T.
Partie A: Étude d'un triangle Tn
1. Calculer u₁, P₁ et a₁.
2. Indiquer comment u₂, P₂ et a₂ s'obtiennent à partir de u₁, p₁ et a₁.
3. Préciser en justifiant les relations de récurrence entre Un+1, Pn+1 et Pn et finalement An+1 et An
4. a.En déduire la nature des suites (Un), (Pn) et (An)
b. Justifier soigneusement que pour tout
n>ou égal à 1 : Un=3^n-1 Pn = 9/2 x (1/2)^n-1 An = 9racine carré de 3/16 x (1/4)^n-1
Partie B: Un tracé bien long
Soit Pn la somme des périmètres de tous les triangles Tn construits au cours de l'étape n
5. a. Exprimer Pn en fonction de Un et Pn
b. démontrer que pour n ≥ 1 : Pn = 3 × (1,5) ^n .
6) soit Ln la somme des périmètres de tous les triangles blancs figurant à l'issue de la n-ieme étape
a. exprimer Ln en fonction de n.
b. à l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle étape Ln dépassera 1m, puis 1km
Partie C: Vers le blanc
8. On note Sn la somme des aires de tous les triangles Tn construits au cours de l'étape n.
démontrer que pour n ≥1 : Sn =
√3 x 0,75^n+1
9. On note £n la somme des aires de tous les triangles blancs figurant à l'issue de la n-ieme étape
9.a. Justifier que pour tout n ≥ 1 : £n < ou égal à 9√ 3 divisé par 4
9.b. démontrer que pour n ≥ 1 : £n=9√ 3 diviser par 4 x (1-0,75^n)
9.c. A partir de quelle étape, le triangle est-il blanc à plus de 95% puis à plus de 99 % ?
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fiches du sitej'ai essayé les premières questions, pour la première j'avais trouvé :
1) U1=3 P1=9/2 et que A1=9racine carré 3/16
2) U2= 3U1 P2= 1/2 P1 et A2 =1/4
pour les réponses ci dessous je ne suis pas sur :
(Un) est géométrique de premier terme U1=1 et de raison 3 donc Un=3^n-1
(Pn) est géométrique de premier terme P1 = 9/2 et de raison 1/2 donc Pn= 9/2x(1/2)^n-1
(An) est géométrique de premier terme A1= 9racine carré 3/16 et de raison 1/4 donc An=9racine carré 3/16 x (1/4)^n-1
pour les autres questions je n'y arrive pas
Bonsoir,
Je mets la figure (c'est bien celle là ?).
Cela suscitera peut-être des aides..
Je vais essayer de regarder mais je n'ai pas trop le temps...
1) [rouge]U1=3[/rouge] P1=9/2 et que A1=9racine carré 3/16
Etourderie ? A l'étape 1, le nombre de triangles BLANCS est...1
p1 et a1 sont bon mais l'écriture ne facilite pas la suite
oui, c'est bien cette figure seulement je n'ai que le 2eme et 3e triangle ! effectivement U1=1 je me suis trompé…
vous pouvez developper la question 2) comment on le trouve s'il vous plaît et m'aider pour les autres questions où je bloque, merci
(Pn) est géométrique de premier terme P1 = 9/2 et de raison 1/2 donc Pn= 9/2x(1/2)^n-1
Pn= 9/2x(1/2)^n-1 peut s'écrire 9/(2^n)
2b) tu remplaces bien sûr un par sa valeur en fonction de n, trouvée en 1c)
idem pour pn qui est 9/(2n)
On te donne le résultat à obtenir donc pas de problème... en principe.
Essaye (il faut bien connaitre les propriétés des puissances !!)
Pour Pn >100 (on prend la longueur en cm car de puis le départ, pour les formules on a pris comme unité le cm)
soit
3*(1,5n) >100
1,5n>100/3
Tu es en première donc la seule méthode pour résoudre cette inéquation est d'utiliser ta calculatrice... (en Tle tu aurais les log à ta disposition....) Tu peux aussi utiliser un tableur 
.
Je te laisse faire. Dis moi ce que tu trouves et je vérifierai...
Je viens de m'apercevoir que la numérotation de mes réponses n'est pas conforme à celle des questions de ton énoncé 
(explication j'utilise un énoncé papier qui est presque le même...)
mais bon je pense que tu vas t'y retrouver...
J'ai traité la partie B (avec les périmètres).
Et ce que j'ai appelé question 3 est en fait la partie C !!
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