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le wronskien (formule de Liouville)

Posté par
imenebilly 05-01-11 à 23:28

bonjour et bonne année à tous, j'ai un petit exercice à faire concernant le wronskien (formule de Liouville)
l'énnoncé:
Considérons le systèmes différentiel
Y'(t)=A(t)*Y(t)  (1)
et soit f(t) une matrice fondamentale pour (1)
-montrer que le wronskien W(t)=det(f(t)) satisfait l'equation différentielle suivante:
W'(t)=Tr(A(t))*W(t)
(Tr(A(t)) désigne la trace de la matrice A(t))

j'ai besoin de votre aide
merci d'avance.

Posté par
GaBuZoMeure : le wronskien (formule de Liouville) 06-01-11 à 12:49

Bonjour

On note L_i(t) la i-ème ligne de la matrice fondamentale : f(t)=\left(\begin{array}{c}L_1(t)\\\vdots\\L_n(t)\end{array}\right). Alors
W'(t)=\frac{d}{dt}\det\left(\begin{array}{c}L_1(t)\\\vdots\\L_n(t)\end{array}\right)= \sum_{i=1}^n\det\left(\begin{array}{c}L_1(t)\\\vdots\\L'_i(t)\\\vdots\\L_n(t)\end{array}\right)\;.
Or L'_i(t)=\sum_{j=1}^n a_{i,j}L_j(t). Par le fait que le déterminant est multilinéaire alterné en les lignes de la matrice, on obtient bien W'(t)=\sum_{i=1}^na_{i,i} W(t).

Posté par
imenebillyre : le wronskien (formule de Liouville) 06-01-11 à 14:24

bojour
merci GaBuZoMeu pour votre aide mais j'ai pas copmris la dernière étape !!!
pouvez vous m'expliquer?
merci d'avance

Posté par
GaBuZoMeure : le wronskien (formule de Liouville) 06-01-11 à 14:42

Il suffit d'utiliser les opérations élémentaires sur les lignes !

Posté par
imenebillyre : le wronskien (formule de Liouville) 06-01-11 à 16:22

Merci beaucoup


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