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lecon 42 symétrie glissée
Bonjour,
je cherche à savoir comment démontrer qu'une isométrie sans point fixe du plan échangeant les angles orientés est le produit "commutatif" d'une symétrie d'axe D et d'une translation de vecteur u orthogonal à D...
j'arrive à montrer que f = t(u) o s(D) mais je bloque pour la commutativité...
Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci pour vos réponses
Bon je crois avoir résolu le problème... merci quand même à ceux qui ont pu chercher à résoudre ce problème
Bonne journée
Bonjour sloreviv,
non, je n'ai pas le droit à cet outil (qui est pourtant très pratique pour isométries et similitudes...) j'ai résolu en posant f(M) = sot(M), g(M) = tos(M), H le projeté de M sur D et H' projeté de t(M) sur R (et donc
puis j'en déduis en bidouillant un peu avec Chasles
bon OK avec mes vieillles methodes :
on suppose f n'est pas une translation
Soit A un point fixe A'=f(A),
conserve A c'est donc , si tu as etudie isometries et points fixes soit une rotation soit une reflexion
ce n'est pas une rotation r sinon serait une rotaion donc aurait un point fixe
c'est une symetrie axiale avec
donc
tu decoupes en deux vecteurs l'un
orthog à D l'autre
qui dirige D
est en fait une autre reflexion d'axe D' parallèle à D passsant par le milieu de [AK]
et là on prouve que
en prenant deux points de D' et un point ext (f et coincident sur trois points non alignes (dessin!)
"c'est une symétrie axiale sD avec A appartenant à D"
A n'appartient pas forcément à D...
Sinon oui c'est la méthode que j'ai utilisée pour la première partie de la démonstration. Mais comment prouve t'on que si on prends un point en dehors de la droite, sot=tos , la manière la plus simple que j'ai trouvée est de détailler avec les projetés orthogonaux
avec ma translation devant f à la 3eme ligne ça conserve A .d'où
"c'est une symétrie axiale sD avec A appartenant à D"
ensuite je fais le dessin: M point de depart son symetrique par rapport à D c'est M' on translate M'c'est M2 =tos(M), on trace M1= symetrique de M2 par rapport à D est ce que M1=t(M)?
l'axe est la droite D sans nom sur le dessin le vecteur de translation est represente il dirige la droite D
on part de M et f(M)=M2 , on prouve que MM'M2M1 trapeze isocele et lescotes [MM1] et [M'M ]sont egauxavec angle droit par ex en M' donc MM'M2M1 trapeze rectangle avec un axe de symetrie donc avec angle droit en M donc c'est rectangle donc
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