Bonjour Chlomolab

Le tout est de se ramener à .
Soit E un sous-ensemble de non vide et majoré.
Il existe donc un entier M tel que pour tout élément n de E, .
Posons alors .
F est clairement un sous-ensemble non vide de , donc admet un plus petit élément que l'on note N.
Ensuite, il est assez facile de voir que l'élément M-N est un élément de E et qui est un majorant de E, autrement dit un plus grand élément.

Kaiser

Salut,
tout depend de ta construction de N en fait.
A partir de Péano, ej pense que ce qui suit est à peu près correct:
Soit A une partie non vide de N, majorée par un entier M.
De deux choses l'une:

-Si MA alors par définition c'est fini (tous les x de A sont inférieurs à l'un de leurs camarades
-Sinon c'est que M-1 est aussi un majorant et on recommence.

en fait si tu sais déja que toute partie non vide de N a un plus petit élément tu peux considerer B = ensemble des entiers k tels que M-k ne soit pas un majorant de A.

B est non vide(sauf si A est reduit au seul element 0, mais dans ce cas 0 est le max et c fini) car A est non vide et il existe k tel que M-k = le plus petit élément de A, qui n'est pas un majorant de A.

Donc B a un plus petit element t.Alors par def de t on a M-t pas majorant de A mais M-(t-1) majorant de A.De plus M-t A .Comme ce n'est pas un majorant de A il existe x dans A plus grand que M-t.
Mais M-t+1 majore A donc x M-t+1. Conclusion : x = M-t+1 est dans A et est nécessairement son plus grand élément.

Je ne sais pas si c'est le plus simle mais ca me parait juste, je te laisse voir!
Bonne soirée

ah ben Kaiser a répondu avant moi

merci pour vos reponses si rapide mais kaiser si tu explique pourquoi les 2 questions sont les mêmes tu n'as pas demontré le principe du bon ordre dans N.
merci

Ce que tu appelles le principe du bon ordre dans , c'est le fait que tout sous-ensemble de admet un petit élément, c'est bien ça ?

exact
est-ce admis ou bien peut on le demontrer?

S'il faut le redémontrer, alors il faut repartir depuis le début, c'est-à-dire revenir à la construction de .

sur megamath il propose une construction de N et il commence par 3 axiomes
1*  principe du bon ordre
2*  N n'est pas majorée
3*  tt partie majorée admet un max

si j'ai bien compris ce que tu as ecrit on n'a pas beoin du 3ième axiome on peut le deduire du premier

bref je m'embroille un peu

Apparemment, le 3ème axiome est inutile mais peut-être que quelque chose m'a échappé.