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leçon numéro 11 : PGCD
Bonjour à tous, je prépare actuellement la leçon numéro 11 sur les PGCD, nombres premiers entre eux, etc...
J'ai défini le PGCD de la manière la plus naturelle (plus grand des diviseurs communs), du coup PGCD (0,0) n'est pas défini. Mais PGCD (a,0)=a pour tout a naturel positif.
Sauf que dans toutes les propriétés sur les PGCD, après avoir consulté de nombreux bouquins de terminale, et des cours sur le PGCD, je me rends compte que les propriétés sont données pour a et b non nuls. Exemple : PGCD (ka;kb) = k PGCD (a;b) pour tout a, b, k entiers naturels non nuls.
Ma question était : peut-on élargir toutes ces propriétés au cas ou (a,b) est différent de (0,0)
Je reprends l'exemple de ma propriété précédente
Pour a=0 et b non nul, la propriété reste valable...
Enfin je ne comprends pas pourquoi restreindre toutes ces propriétés à a et b non nuls.
Merci d'avance pour vos réponses 
Bonsoir,
c'est juste qu'en Terminale il est plus simple de définir le PGCD pour a et b non nuls.
CEs difficultés disparaissent dès lors qu'on définit le PGCD des entiers relatifs (quelconques) a et b comme l'unique entier positif d tel que aZ + bZ = dZ (en tant que sous-groupes de Z).
Bonjour.
Zéro, bien étant le nombre numériquement le plus petit, est le plus grand dans la relation d'ordre 'est divisible par'. Il est donc légitime d'affirmer que pgcd(0,0) = O.
Par ailleurs, le pgcd est divisible par tous les diviseurs communs. Les diviseurs communs à une paire de zéros sont tous les nombres. Or zéro et lui seul est divisible par tous les nombres.
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