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Led clignotantes

Posté par
flight
19-01-22 à 19:57

Bonsoir

je vous propose l'exercice suivant  , on dispose d'une rampe  de 4 LED clignotantes .  (L1,L2,L3,L4)  
à t= 0 , la led 1  est allumée et pour k compris entre 2 et k , si la LED k est allumée alors se sera la LED k-1 qui s'allumera .
On pourra avoir par exemple la séquence d'allumage suivante  
L1,L1,L1,L3,L2   ou encor   L1,L1,L4,L3,L2 ou encor  L1,L3,L2
(les LED clignotent de façon équiprobable )

si on note X la variable aléatoire égale à l'instant ou la LED 2 s'allume , alors quelle est la loi de X

Posté par
LittleFox
re : Led clignotantes 20-01-22 à 12:11


Je ne comprends rien

À t=0, L1 est allumée. Les autres sont éteintes?
"pour k compris entre 2 et k"
"si la LED k est allumée alors se sera la LED k-1 qui s'allumera" Les LED s'allument donc vers la gauche. Mais seule la LED la plus à gauche est allumée. Rien ne se passera
Je ne comprends pas ta notation de séquence d'allumage. Je m'attendrais à l'état des 4 LEDs à chaque instant t.
"les LED clignotent de façon équiprobable" Tu viens de définir un procédé déterministique, pourquoi les LEDs clignoteraient? Et je ne vois pas comment L1 est allumée en t=0 est équiprobable.

Du coup la LED 2 ne s'allume jamais P(X) = 0.

Posté par
flight
re : Led clignotantes 20-01-22 à 15:15

salut Littlefox : j'apporte des precisions ,

à t = 0 la led 1 est initialement  allumée , puis à partir de cette etape
l'une des 4 leds (s1,s2,s3,s4) va s'allumer ,mais  pour k compris entre 2 et 4 si la led "k" est allumée alors la prochaine led qui s'allumera sera la led k-1, si bien qu'on peut avoir par exemple les scenarios suivants :

s1 , s1 , s3, s2, s1 .etc...
s1, s2 , s1 ect...
s1,s1,s1,s4,s3,s2,s1

on s'interesse à la variable aléatoire X donnant l'instant au bout duquel la lampe 2 s'allume pour la premiere fois

Posté par
LittleFox
re : Led clignotantes 20-01-22 à 16:42

Soit un ruban de 4 leds.
A chaque instant une seule led est allumée.
A chaque instant la led allumée s'éteint et celle à sa gauche s'allume.
S'il n'y a pas de led à gauche (on a atteint le bout du ruban) alors une led choisie aléatoirement s'allume.

Initialement la led la plus à gauche est allumée. Combien d'instants faudra-t-il avant que la deuxième led la plus à gauche s'allume pour la première fois?

Donnez la loi de ce nombre d'instants.

Est-ce que ce n'est pas plus clair comme ça?

Posté par
LittleFox
re : Led clignotantes 20-01-22 à 17:14


Il y a une probabilité 1/4 que L1 se rallume. Et le problème recommence.
Et une probabilité de 3/4 qu'une led k avec k > 1 s'allume. Dans ce cas , X = k-1

On obtient:
P(X=t) = \begin{cases} 0 & \text{ si } t \le 0 \\ 1/4 & \text{ si } t = 1 \\ 1/4 + 1/4² = 5/16 & \text{ si } t = 2 \\ 1/4^{t-3}(1/4 + 1/4² + 1/4³)= 21/(64 \times 4^{t-3}) & \text{ si } t \ge 3 \end{cases}



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