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Lego Master
Bonjour à tous 
Ma petite fille vient de ressortir mes vieilles boîtes de lego . Elle construit des immeubles de deux étages à base carrée avec des briques 1X2 . Quand elle déplace ses productions , il arrive qu'un bloc se détache car il n'est pas accroché à l'ensemble . C'est le cas pour le chef d'œuvre ci-dessous :
Il est impossible de corriger son problème en changeant le deuxième étage tout en conservant le premier alors que le contraire est possible . Il semblerait que lorsque les quatre blocs d'angle ne sont disposés de la même façon , aucune réalisation correcte ne soit possible , vrai ou faux ? Bien sûr on ne se limite pas à une base de côté 4 .
Imod
Oui , c'est le problème , le niveau 1 est donné , on ne doit pas y toucher et il faut construire le deuxième niveau pour que l'ensemble soit solidaire .
On voit clairement qu'on ne peut pas construire un deuxième étage sur le premier en respectant la contrainte . On peut par contre construire sans problème un premier étage sous le deuxième . Il faudrait expliquer pourquoi les 4 dominos d'angle doivent être orientés de la même façon ( la condition n'est pas suffisante en général ) .
Imod
Je pensais avoir compris que si un pavé rectangulaire du niveau2
chevauchait exactement un pavé du niveau 1 il pouvait se détacher
(rectangle rose de ta figure).
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1.Bon !
il est impossible de construire un niveau 2 avec la figure de l'énoncé
car au moins un rectangle sera superposé à un autre ou on laissera
des trous.
Dans la série exemple contre-exemple , le premier étage d'un carré de côté 6 avec des bords possiblement bien orientés et pourtant impossible à compléter proprement :
Imod
Bonjour,
Je pensais que ma théorie des carrés vus en transparence suffisait
pour les liaisons (cf 3/03 14h40) mais on voit que c'est autour des blocs de 2x2 d' être séparables de l'ensemble....
Dans l'exemple 6x6 on voit déjà que tous le bloc de 2x6 ne peut être lié à la suite .
Mais en supposant que le niveau soit "solidarisable" par le niveau 2 (par les picots ), j'ai une solution pour 6x6.
Salut,
j'ai l'impression que l'on peut faire deux étages solidaires quelque soit la taille ( possible ) d'une base rectangulaire.
Et qu'il y a relativement peu de solutions, il vaut mieux ne pas remplir le premier rectangle au hasard.
Pour les rectangles 2xn :
il y a 2 rectangles possibles si n
4 est pair, un seul, à un demi-tour près, si n est impair.
Pour les rectangles 3xn, avec n pair pour que le rectangle soit possible, il y a deux bases possibles.
Je réponds aux derniers messages en précisant que ma présence sur le forum risque d'être très épisodique et peu performante .
Les derniers dessins de Verdurin m'ont donné l'idée d'une représentation amusante des deux étages . On dessine une grille carrée de la taille du bloc et on pointe une case sur deux du premier étage ( comme sur un échiquier ) . On choisit ensuite une case pointée , elle fait partie d'un domino ( ie : légo ) , on se dirige vers sa deuxième case en traçant un segment rouge . On monte ensuite d'un étage , on tombe sur une case de domino , on trace en bleu un segment allant vers sa deuxième case puis on descend d'un étage … Si on observe dans le plan le dessin obtenu , on a une succession de segments unitaires alternativement rouges et bleus , parallèles aux lignes du quadrillage et formant une boucle simple . Les lignes rouges et bleues correspondant aux différents étages . Réciproquement toute boucle simple de cette forme correspond à deux étages solidaires .
Maintenant si on relie directement les cases pointées ( on divise par deux le nombre de segments ) , on obtient une nouvelle boucle simple dont les côtés suivent ceux du quadrillage ou celui de ses diagonales .
Une question se pose : Une telle boucle correspond-elle toujours à au moins une boucle initiale ?
Un exemple pour lequel la réponse est oui :
Imod
L'unique solution à la boucle précédente :
La représentation peut paraitre complexe mais il suffit de se dire qu'à chaque étage est associé une couleur .
J'ai réalisé le montage , il n'est pas fantastique mais il tient
Imod
Un exemple de boucle simple ne produisant aucune boucle bicolore :
Je pense avoir une explication au fait que les briques d'angle sont toutes orientées de la même façon sur un étage . Si on parcourt la boucle dans le sens trigo , on laisse toujours le bord de la construction sur sa droite donc dans les angles , les segments partant d'un point noir ne peuvent qu'être horizontaux .
Imod
Ma dernière remarque vaut aussi pour le cas rectangulaire évoqué par Verdurin . Les segments d'angles ne seront pas forcément orientés de la même façon mais dans le sens du parcours ils partiront tous d'un point noir .
Imod
Je continue à monologuer ( on n'est pas obligé de me lire )
Un début de premier étage qu'on peut compléter sans problème mais le deuxième étage ne sera jamais solidaire du premier .
Imod
Le schéma correspondant aux deux étages de Dpi
Les segments rouges représentent le premier étage et les bleus le deuxième . On voit clairement les deux blocs .
J'ai essayé de voir si on pouvait corriger l'un des niveaux pour rétablir la cohésion mais je n'ai rien trouvé . En fait on a un problème de cycles hamiltoniens et ils sont rarement simples .
J'ai sans doute levé un lièvre trop gros pour moi .
D'un autre côté il est facile de construire deux étages solidaires , j'ai donc pu répondre à ma petite fille de façon détournée
Imod
Le problème des coins est assez simple une fois le problème transformé en la recherche d'un cycle hamiltonien bicolore, je pense.
Les longueurs de tous les chemins pour aller d'une case A à une case B ont la même parité. En effet, tout détour doit être compensé par un déplacement inverse.
Donc si un chemin de A à B arrive avec une couleur en B alors tous les chemins de A à B arriveront avec cette même couleur (s'ils partent avec la même couleur).
L'ordre des couleurs dans deux coins le long d'un côté est donc inversé si la longueur du côté est paire sinon l'ordre est conservé.
Le cycle ne peut pas se croiser et doit passer par toutes les cases. Les coins sont donc à l'extérieur du cycle et "tournent" donc tous dans le même sens.
Les coins le long d'un côté sont donc tournés d'un quart de tour.
Le résultat est que deux coins le long d'un côté au même étage auront la même orientation si le la longueur du côté est paire et sinon ils auront une orientation perpendiculaire.
On est bien d'accord pour le problème des coins mais comment savoir si un premier étage avec les coins bien orientés peut accepter un deuxième étage rendant l'ensemble solidaire ?
Imod
Si l'ensemble du premier étage est donné, alors c'est compliqué. Je n'ai pas de solution sinon que dire que s'il existe un cycle hamiltonien passant par tous les segments du premier étage alors on peut construire un deuxième étage rendant l'ensemble solidaire.
Une remarque quand même: Si après construction l'ensemble n'est pas solidaire alors on a au moins deux cycles adjacents. Si le deuxième étage a deux briques parallèles appartenant à chacune à un cycle alors il suffit de tourner le carré formé par ces deux briques pour connecter les deux cycles en un seul. Si aucune telle paire de briques n'existe alors inverser les étages d'un des cycles crée nécessairement au moins deux de ces paires (en fait chaque brique "extérieure" du cycle et au deuxième étage est une telle paire).
On peut donc toujours diminuer le nombre de cycle jusqu'à en avoir seulement un dans une construction rectangulaire.
Mais on touche au premier étage.
En effet , une version corrigée des deux étages de Dpi :
On échange les étages du bloc fautif puis on fait tourner le petit carré au milieu à droite .
La richesse de ce petit problème de gamin est assez impressionnante . Par exemple si on regarde deux légos imbriqués ne formant pas un bloc isolé , il y a trois configurations possibles , en "S" , en "L" ou en "J" . Si on échange les étages on conserve le nombre de "S" et on échange le nombre de "L" et de "J" .
On pourrait se demander par exemple quel est le nombre d'éléments de chaque sorte indispensables pour réaliser un carré de côté donné .
Imod
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