Bonsoir

peux-tu mettre ton profil à jour s'il te plaît, il me semble que tu n'es plus en terminale ?
merci

Bonsoir,

Connais-tu la proposition suivante :

Si le noyau d'une matrice est réduite au vecteur colonne nul, alors la matrice est inversible

C'est une conséquence de la propriété des endomorphismes en dimension finie qui dit que est inversible ssi est injectif

J'ai mis a jour mon profil désolé !

Merci pour votre réponse,  et c'est parfait je viens de comprendre  je crois, en effet comme on est en dim finie la bijectivite est équivalente à l'injectivite.  Donc si on a que 0 pour le noyau, ça signifie que c'est injectif et que donc la matrice associée est inversible ? Car on a justement aucun autre vecteurs propres?

Nul besoin d'invoquer les vecteurs propres ici.
Comme tu l'as dis , si on a que 0 comme noyau, alors l'endomorphisme canoniquement associé est injectif donc bijectif car on est en dimension finie donc l'endomorphisme canoniquement associé est inversible donc la matrice est inversible .
Et donc par contraposee , si une matrice n'est pas inversible, son noyau n'est pas réduit à 0 , donc on peut trouver dans le noyau …

Merci beaucoup pour votre aide! Je comprends mieux

Je vous souhaite une bonne soirée

Avec grand plaisir !

A la prochaine sur l'île !

salut

une autre façon de le voir :

si u est un vecteur non nul tel que Au = 0 alors pour tout vecteur v :  A(u + v) = Au + Av = Av  (la multiplication des matrices est distributive ... et un vecteur est une matrice)

donc A n'est pas injectif et encore moins bijectif ...

or A est bijectif <=> A est inversible donc ...