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Lemme de cantelli (espace probabilisé

Posté par
processus 17-01-19 à 12:43

Bonjour j'essaie de démontrer le lemme de cantelli qui s'énonce comme suit ,
Soit (\Omega , \tau ,p)
Un espace probabilisé et (A_n)_{n} une suite d'évènements aléatoires de \tau .
1. Si \sum{P(A_n)<+oo
Alors
P(lim sup A_n)=0
Quand n tend vers +00.

C'est ce cas qui m'intéresse .

Dans la démo , il est supposé que

\sum{P(A_n)}<+00
Ensuite ,posons B_n=({\bigcup{A_k}})_{k\geq n}

Ensuite il est écrit

On a B_{n+1}{\bigcup{}}A_n=B_n
Je comprend pas trop bien comment depuis je cherche mais ...

Ensuite il conclut que

(Bn)n  est une suite croissante ...

Merci

Posté par
jsvdbre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 17-01-19 à 13:10

Bonjour processus.

Il suffit d'écrire que

B_{n+1} = A_{n+1}+ A_{n+2}+ A_{n+2}+\cdots

B_n = A_n + A_{n+1}+ A_{n+2}+ A_{n+2}+\cdots = A_n \cup B_{n+1}

Posté par
processusre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 17-01-19 à 13:12

Merci infiniment j'ai compris ...

Posté par
jsvdbre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 17-01-19 à 13:14

De plus, la suite (B_n)_n est décroissante (pour l'inclusion) et non croissante.

Posté par
jsvdbre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 17-01-19 à 13:15

Et évidemment, ce sont des \cup et pas des + qu'il faut écrire.

Posté par
processusre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 17-01-19 à 15:55

Oui merci je me suis retrouvé

Posté par
processusre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 16:26

J'avais pas remarqué que

D_n=A_n{\bigcup{}}({\bigcup_{k=n+1}^{+00}{A_k)}}

Posté par
carpediemre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 16:53

salut

les proba ici ne sont qu'un contexte au résultat général suivant :

en posant p_n = P(A_n) alors la suite (p_n) est une suite de nombres positifs donc la somme est finie

donc lim p_n = 0 => limsup p_n = 0

Posté par
processusre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 17:03

Merci carpediem

Posté par
carpediemre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 17:13

de rien

Posté par
Poncarguesre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 17:29

Citation :
les proba ici ne sont qu'un contexte au résultat général suivant :

en posant p_n = P(A_n) alors la suite (p_n) est une suite de nombres positifs donc la somme est finie

donc lim p_n = 0 => limsup p_n = 0

Absolument pas P(lim sup A_n) n'est pas lim sup P(A_n), en fait on voit immédiatement que le second est majoré par le premier, le fait que lim sup P(A_n) tende vers 0 n'implique pas a priori que P(lim sup A_n) tende vers 0.

Posté par
Poncarguesre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 17:30

Le lemme dit qqch de plus fort.

Posté par
jsvdbre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 18:00

Oui et on peut trouver très facilement des exemples où P(An) tend vers 0 sans que P(limsup An) tende vers 0 (voire même tende vers +infini)

Posté par
carpediemre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 19:03

bien sur qu'il faut revenir à la définition de ce que signifie lim sup ....

Posté par
carpediemre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 19:06

jsvdb @ 18-01-2019 à 18:00

Oui et on peut trouver très facilement des exemples où P(An) tend vers 0 sans que P(limsup An) tende vers 0 (voire même tende vers +infini)
m ontre ...

Posté par
Poncarguesre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 19:37

Poncargues @ 18-01-2019 à 17:29


Absolument pas P(lim sup A_n) n'est pas lim sup P(A_n), en fait on voit immédiatement que le second est majoré par le premier, le fait que lim sup P(A_n) tende vers 0 n'implique pas a priori que P(lim sup A_n) tende vers 0.

Une petite rectification dans ce que j'ai ecrit il faut remplacer les "tende vers" par "soit égal" bien sûr.


carpediem @ 18-01-2019 à 19:06

jsvdb @ 18-01-2019 à 18:00

Oui et on peut trouver très facilement des exemples où P(An) tend vers 0 sans que P(limsup An) tende vers 0 (voire même tende vers +infini)
m ontre ...

Pour le contre exemple on peut prendre A_0=[0,1], A_1=[0 ,1/2], A_2=[1/2, 1], A_3=[0,1/4], A_4=[1/4, 1/2] etc...
On a P(A_n) tend vers 0 et P(lim sup A_n)=1 (ou P est la mesure de Lebesgue ici).

Posté par
jsvdbre : Lemme de cantelli (espace probabilisé 18-01-19 à 22:11

Ou pour l'infini :

[-1;0] [0;1]

[-2;-3/2] [-3/2;-1] [-1;-1/2] [-1/2;0] [0;1/2] [1/2;1] [1;3/2] [3/2;2]

[-3;-3+1/3] [-3+1/3;-3+2/3] \cdots [3-1/3;3]

[-4;-3,75] [-3,75;-3,5] \cdots [3,75;4]

\cdots

A la n-ième ligne : I_{n,k}=[-n+\frac{k}{n};-n+\frac{k+1}{n}] pour k allant de 0 à 2n²-1

Ces intervalles ont une longueur qui tend vers 0 tandis que leur limite supérieure est \R


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