Niveau Prepa (autre)

Lemme de cesaro - Démonstration

Posté par
KrnT 23-11-20 à 23:09

Bonsoir,
Après m'être informé sur le démonstration graphique du lemme de cesaro, on m'a demander d'en faire la démonstration :
J'ai tout d'abord commencer par appliquer la définition de la limite
$\Xi N\in |N,\vee n\geq N\Rightarrow |Un-l|\prec \epsilon$

$\Rightarrow l-\epsilon \prec Un\prec \epsilon +l$

$\Rightarrow n(l-\epsilon )\prec \sum_{k=1}^{n}{U_k}\prec n(\epsilon +l)$

$\Rightarrow l-\epsilon \prec Vn\prec l+\epsilon$

et de là on peut dire que Vn converge aussi vers l.
Pourquoi cette démonstration est-elle fausse ? ( Car je ne vois que la démonstration où nous divisions la somme en deux sommes pour ensuite les majorer par epsilon/2 + epsilon/2 )

_{* malou > le niveau a été modifié en fonction du profil renseigné *}

Posté par re : Lemme de cesaro - Démonstration 23-11-20 à 23:10

Sachant que $V_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{U_k}$

Posté par re : Lemme de cesaro - Démonstration 23-11-20 à 23:45

Bonsoir KrnT
Ça me paraît bien la démonstration :
Posons $U'_n = U_n -\ell$ et cela revient à montrer que $\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nU'_n\rightarrow 0$

Soit $\varepsilon > 0$ et $n_\varepsilon$ tel que pour tout $n \geq n_\varepsilon, |U'_n|\leq \varepsilon$ . Il vient pour tout $n \geq n_\varepsilon$ :

$\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nU'_n = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n_\varepsilon -1}U'_n+\frac{1}{n}\sum_{i=n_\varepsilon}^nU'_n$

$|\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nU'_n| \leq \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n_\varepsilon -1}|U'_n|+\frac{n-n_\varepsilon+1}{n}\varepsilon$

Et pour n assez grand :

$|\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nU'_n| \leq 2\varepsilon$ et le résultat suit.

Posté par re : Lemme de cesaro - Démonstration 23-11-20 à 23:45

Bonsoir

la propriété $\forall n\ge N \quad l-\varepsilon<U_n<l+\varepsilon$ n'est vraie que pour $n\ge N$ par définition

tu n'as pas le droit de l'appliquer à la somme de 1 à n

Posté par re : Lemme de cesaro - Démonstration 23-11-20 à 23:58

Zormuche @ 23-11-2020 à 23:45

Bonsoir

la propriété $\forall n\ge N \quad l-\varepsilon<U_n<l+\varepsilon$ n'est vraie que pour $n\ge N$ par définition

tu n'as pas le droit de l'appliquer à la somme de 1 à n

Merci énormément j'ai peiné pour trouver cette erreur

jsvdb @ 23-11-2020 à 23:45

Bonsoir KrnT
Ça me paraît bien la démonstration :
Posons $U'_n = U_n -\ell$ et cela revient à montrer que $\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nU'_n\rightarrow 0$

Soit $\varepsilon > 0$ et $n_\varepsilon$ tel que pour tout $n \geq n_\varepsilon, |U'_n|\leq \varepsilon$ . Il vient pour tout $n \geq n_\varepsilon$ :

$\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nU'_n = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n_\varepsilon -1}U'_n+\frac{1}{n}\sum_{i=n_\varepsilon}^nU'_n$

$|\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nU'_n| \leq \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n_\varepsilon -1}|U'_n|+\frac{n-n_\varepsilon+1}{n}\varepsilon$

Et pour n assez grand :

$|\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nU'_n| \leq 2\varepsilon$ et le résultat suit.

Merci énormément à toi aussi j'aime beaucoup ta démosntration et je crois que je vais l'utiliser

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