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lemme de fitting

Posté par Liloue (invité) 20-03-05 à 08:00

voilà j'ai un DM sur ce lemme (je suis en prépa) et jai quelque difficultés....donc si quelqu'un peut maider...

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : lemme de fitting 20-03-05 à 10:43

Bonjour,

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q09 - Comment bien rédiger son message ?



De plus si tu ne nous donne pas les question sur lesquelles tu bloques je vois mal comment nous allons pouvoir t'aider

A plus

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 20-03-05 à 14:33

Bonjour !
ben mon problème c'est que je dois démontrer le lemme de fitting et pour cela je dois traiter 2 exemples. dans le premier on me demande de trouver une valeur pour p qui vérifie : E=kerf^p + Imf^p (en somme directe) et je trouve pas. je comprend pas en fait....

Posté par Emma (invité)re : lemme de fitting 20-03-05 à 14:45

Salut Liloue

Telle qu'elle est posée, ta question ne peut parler qu'à des personnes connaissant ce lemme par son nom.
Mais peut-être est-ce un lemme que certains connaissent et savent utiliser ou démontrer sans pour autant connaître son nom ?...

Personnellement, par exemple, le lemme de fitting, ça ne me parle pas.

Peut-être pourrais-tu poser une question un peu plus complète, histoire d'augmenter tes chances d'avoir une réponse...

@+
Emma

Posté par
isisstruiss
re : lemme de fitting 21-03-05 à 10:29

Pour compléter le message d'Emma, j'aimerais rajouter que parfois un lemme est connu sous différents noms.

Et moi non plus ça ne me parle pas du tout le lemme de fitting.

Isis

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 21-03-05 à 18:11

jai mis l'expression du lemme plus haut : pour tout endomorphisme f de E, il existe une entier p appartenant à [[1,n]] qui vérifie
     E= ker f^p + Imf^p  (en somme directe) avec
       f[/sup]p=fof[sup](p-1)

voilà je sai pas si c trè clair...si vous voulez je peux vous faire parvenir mon Dm bien rédigé..lol

1. on me demande d'abord de donner un valeur de p qui vérifie la relation avec f un automorphisme.  (déja là ca bloque...

2. ensuite on traite un exemple avec E=R[/sup]3 et on considère l'endomorphisme f défini dans la base canonique de R[sup]3 par
           f(x,y,z)=(y,z,z)
  on me demande une base de kerf, de imf et si l'on peut choisir p=1 pour vérifier la relation   (et là c le dram...)

je suis bloquée là donc si quelqu'un peut m'expliquer et m'aider..

Posté par titimarion (invité)re : lemme de fitting 21-03-05 à 18:54

Salut
Pour le 1)
si f est un automorphisme Ker(f)={0} et E=Im f donc cela marche avec p=1
2)On a f(x,y,z)=0 ssi y=z=0 Donc Ker(f)={\mathbb R}\times \{0\}\times \{0\}
Ainsi une base de Kerf est e1=(1,0,0)
Pour ce qui est de l'image c'est un sous espace vectoriel de dimension 2
et on a comme base assez facilement e2=(1,0,0) et e3=(0,1,1) qui sont les images par f de (0,1,0) et de (0,0,1)
Cependant on ne peut pas avoir la relation avec p=1
Sinon par exemple (1,2,3) devrait pouvoir s'écrire en fonction de e1, e2 et e3 ce qui est impossible car \alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3=(\alpha+\beta,\gamma,\gamma) ainsi le deuxième et le troisième terme sont forcément égaux.
Parcontre cela doit pouvoir marcher avec p=2 mais je n'ai pas vérifié.

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 21-03-05 à 19:40

merci bcp ! c cool jai tout compris !! donc je devrai réussir la question avec p=2...lol

mai jai encore quelque petites faveur a vous demander....
on traite ensuite un 2eme exemple. cette fois E=R[sup][/sup]4 avec pour base canonique (e1,e2,e3,e4). f un endomorphisme defini par
     f(x,y,z,t)=(-y,my,x-mz-t,0) et mon prof na pas donné dindication sur m donc je suppose que ca doit etre un réel.

1- determiner base de kerf et imf. idem peut on choisir p=1, on discutera selon les valeur de m.

2-determiner le plus petit entier p vérifiant le lemme.

après on parresa au cas général...

Posté par titimarion (invité)re : lemme de fitting 21-03-05 à 22:38

Re,
On peut voir que l'image de f est de dimension 2, car la dernière coordonnées est nulle et que les deux premières dépendent l'une de l'autre.
Une base de ton espace d'arrivée est f1=(-1,m,0,0) f2=(0,0,1,0)
Par le théorème du rang on sait que Ker f est de dimension 2.
f(x,y,z,t)=0 ssi y=0 et x-mz-t=0
Si z=0 cela donne x=y
Si t=0 cela donne x=mz
On a donc une base en prenant f3=(1,0,0,1) et f4=(m,0,1,0)
On ne peut pas choisir p=1, en effet si m=0 on ne peut pas écrire e2 en fonction de f1,f2,f3 et f4
Si m différent de 0 les fi forment une base de notre espace vectoriel donc on a bien que le résultat est vrai avec p=1 si je ne me trompe pas.

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 22-03-05 à 07:34

ok . la suite et le cas général ce soir !

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 22-03-05 à 18:42

comme promis la suite !!

on attaque donc le cas général.  on suppose donc que l'endomorphisme f n'est âs bijectif.
a) soit k un entier naturel. montrer que
      kerf[/sup]k inclu dans ker[sup]k+1
   et imf[/sup]k+1 inclu dans imf[sup]k

b) pour tout entier naturel k, on note a[/sub]k = dimkerf[/sup]k
montrer que la suite a[sub]
k est croissante.

c) soit F={k appartenant à N | a[/sub]k =a[sub]k+1
montrer quil est non vide

d) en déduire lexistence d'un entier p>=1 qui vérifie
   - quel que soit k appartenant à [[0;p-1]], kerf[sup]k différent de kerf[/sup]k+1
   - kerf[sup]
p = kerf[/sup]p+1

e) montrer que pour tout k >= p : kerf[sup]
k = kerf[sup][/sup]p

f) deduire de ce qui précéde le lemme de fitting

Posté par titimarion (invité)re : lemme de fitting 23-03-05 à 17:39

Salut,
a)assez simple
Soit x\in Ker(f^k)\,f^{k+1}(x)=fof^k(x)=f(0)=0\Rightarrow x\in Ker(f^{k+1})
Soit y\in Im(f)^{k+1} \;\exists x\,/\;f^{k+1}(x)=y
Donc si on pose z=f(x) on a y=f^k(z)\rightarrow y\in Im(f^k)

b)provient de l'inclusion que l'on a montré au a) Si F_1\subset F_2 et que ce sont des espaces vectoriels alors Dim F_1\le Dim F_2

c)ak est une suite croissante majorée par la dimension de ton espace vectoriel E, or toute suite croissante majorée converge, donc il existe k tel que a_k=a_{k+1}

d)Il suffite de prendre la borne inférieure de ton ensemble F, tu peux vérifier aisément qu'un tel k vérifie les propriétés demandées.

e)Ca doit pouvoir se montrer par récurrence sur p. La récurrence est évidente au rang 0 et au rang 1, supposons le résultat établi jusqu'au rang p-1
On sait déja que Ker(f^k)\subset Ker(f^p)
Ensuite tu prends x\in Ker(f^p) c'est à dire f^p(x)=0
Ainsi f^{p-1}(f(x))=0\rightarrow f(x)\in Ker(f^{p-1})=Ker(f^k) par hypothèse
On en conclut que f^k(f(x))=f^{k+1}(x)=0 donc x\in Ker(f^{k+1})=Ker(f^k) aussi par hypothèse de récurrence.
Ainsi tu as la double inclusion et donc l'égalité.

f)Par le théorème du rang tu as que Dim E= Dim (Ker(f^k))+ Dim(Im(f^k)) il reste à voir que cette somme est directe
Supposons x\in (Ker(f^k))\cap(Im(f^k))
\exists y\in E\;/f^k(y)=x et f^k(x)=0
Donc f^k(f^k(y))=0 Donc y\in Ker(f^{2k})=Ker(f^k)
Ainsi x=f^k(y)=0
Et voila c'est fini pour le cas général si tu veux plus de précsions n'hésite pas.

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 23-03-05 à 18:39

OUAH  je te remerci beaucoup !! en fait je me rend compte qu'il y avait beaucoup de choses "accessibles" par contre il y a certaines choses qu'il faut que je travaille (si jamai j'ai un problème je te demanderai.. ). en tout cas encore merci et peut etre à bientot !!

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 24-03-05 à 15:38

en fait oui, ca y est j'ai un problème. Je ne comprend pas pourquoi et comment on peut dire dans la question c)que la suite a[sub][/sub]k est majorée par dim E...
peux-tu m'expliquer stp ?

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 24-03-05 à 15:45

idem j'arrive pas à rédiger la question d....

Posté par titimarion (invité)re : lemme de fitting 24-03-05 à 16:16

Salut
pour c) on a a_k=dim Ker(f^k) Or Ker(f^k)\subset E ainsi tu as bien la majoration par la dimension de ton espace vectoriel puisque ton noyau est inclus dedans.

d)Soit k=inf\{k,k\in F\}
il existe puisque F est non vide
Ensuite essaie de vérifier les propriétés demandées.

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 24-03-05 à 16:52

c cool ca marche ! tout est bon, vérifié et rédigé !!

par contre j'ai encore besoin de précisions pour la récurrence de la question e)...elle ne me semble pas du tout évidente...
déja j'ai un problème avec l'affirmation :
  
   ker f^k \subset ker f^p  
il me semble que l'inclusion inverse est directe grace à la question a)

Posté par titimarion (invité)re : lemme de fitting 24-03-05 à 17:40

J'ai juste inversé le role de p et k j'avais pas bien vu la question.

Posté par Liloue (invité)re : lemme de fitting 25-03-05 à 20:04

Merci beaucoup !
bonne continuation et a bientot peut etre sur le forum



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