Bonjour,

extrait de la FAQ du forum :

Q09 - Comment bien rédiger son message ?

Déjà, si vous lisez attentivement cette FAQ, c'est un bon signe.

Il est essentiel de respecter quelques règles lorsque vous rédigez votre message :

• Être poli : vous vous adressez à des êtres humains, pas à des robots qui résolvent des problèmes à longueur de journée. C'est pourquoi une politesse élémentaire se doit d'être respectée (bonjour, merci, etc.)


• Écrire en français et avec la qualité rédactionnelle requise : surveillez votre orthographe, et surtout évitez le langage SMS : rien n'est plus pénible pour un correcteur que de devoir décrypter un message incompréhensible ... A votre avis, s'il a le choix entre un message correctement écrit, bien présenté et une succession de caractères à décoder, privilégiera-t-il pour apporter son aide ?
  Il faut également souligner qu'écrire en majuscule donne l'impression de crier, évitez cela sur le forum. De même les successions de signes de ponctuation tels que " ! ! ! ! " donneront de vous une image très négative.


• Vérifiez votre énoncé : il ne faut pas qu'il reste des ambiguïtés dans l'interprétation de celui-ci. Si vous utilisez des fractions, assurez-vous d'utiliser le LaTeX pour représenter celles-ci, ou au pire d'utiliser des parenthèses. Comment les correcteurs pourraient deviner que x-1/x 2 signifie ou De même, rien n'est plus pénible pour un correcteur après avoir passé une demi-heure à vous aider dans l'étude d'une fonction de vous voir dire à la fin : " je me suis trompé dans l'énoncé, ce n'est pas la bonne fonction que j'ai écrit ". Mettez-vous une fois de plus à la place des correcteurs...

Avant d'envoyer définitivement votre message, pensez à vous relire une fois grâce à l'option aperçu qui est là pour cela.

Enfin, si vous obtenez une réponse, pensez à remercier la personne qui a donné de son temps pour essayer de vous aider, afin d'encourager les correcteurs à continuer à contribuer à faire vivre ce forum... Si ces correcteurs bénévoles passent du temps pour vous aider, et qu'ils n'obtiennent aucun signe de satisfaction et de reconnaissance du travail qu'ils fournissent, ils risquent bien de ne pas vous corriger la prochaine fois que vous aurez besoin d'eux...

Bonjour !
ben mon problème c'est que je dois démontrer le lemme de fitting et pour cela je dois traiter 2 exemples. dans le premier on me demande de trouver une valeur pour p qui vérifie : E=kerf^p + Imf^p (en somme directe) et je trouve pas. je comprend pas en fait....

Salut Liloue

Telle qu'elle est posée, ta question ne peut parler qu'à des personnes connaissant ce lemme par son nom.
Mais peut-être est-ce un lemme que certains connaissent et savent utiliser ou démontrer sans pour autant connaître son nom ?...

Personnellement, par exemple, le lemme de fitting, ça ne me parle pas.

Peut-être pourrais-tu poser une question un peu plus complète, histoire d'augmenter tes chances d'avoir une réponse...

@+
Emma

Pour compléter le message d'Emma, j'aimerais rajouter que parfois un lemme est connu sous différents noms.

Et moi non plus ça ne me parle pas du tout le lemme de fitting.

Isis

jai mis l'expression du lemme plus haut : pour tout endomorphisme f de E, il existe une entier p appartenant à [[1,n]] qui vérifie
     E= ker f^p + Imf^p  (en somme directe) avec
       f^{[/sup]p=fof[sup]}(p-1)

voilà je sai pas si c trè clair...si vous voulez je peux vous faire parvenir mon Dm bien rédigé..lol

1. on me demande d'abord de donner un valeur de p qui vérifie la relation avec f un automorphisme.  (déja là ca bloque...

2. ensuite on traite un exemple avec E=R^{[/sup]3 et on considère l'endomorphisme f défini dans la base canonique de R[sup]}3 par
           f(x,y,z)=(y,z,z)
  on me demande une base de kerf, de imf et si l'on peut choisir p=1 pour vérifier la relation   (et là c le dram...)

je suis bloquée là donc si quelqu'un peut m'expliquer et m'aider..

Salut
Pour le 1)
si f est un automorphisme Ker(f)={0} et E=Im f donc cela marche avec p=1
2)On a f(x,y,z)=0 ssi y=z=0 Donc
Ainsi une base de Kerf est e1=(1,0,0)
Pour ce qui est de l'image c'est un sous espace vectoriel de dimension 2
et on a comme base assez facilement e2=(1,0,0) et e3=(0,1,1) qui sont les images par f de (0,1,0) et de (0,0,1)
Cependant on ne peut pas avoir la relation avec p=1
Sinon par exemple (1,2,3) devrait pouvoir s'écrire en fonction de e1, e2 et e3 ce qui est impossible car ainsi le deuxième et le troisième terme sont forcément égaux.
Parcontre cela doit pouvoir marcher avec p=2 mais je n'ai pas vérifié.

merci bcp ! c cool jai tout compris !! donc je devrai réussir la question avec p=2...lol

mai jai encore quelque petites faveur a vous demander....
on traite ensuite un 2eme exemple. cette fois E=R[sup][/sup]4 avec pour base canonique (e1,e2,e3,e4). f un endomorphisme defini par
     f(x,y,z,t)=(-y,my,x-mz-t,0) et mon prof na pas donné dindication sur m donc je suppose que ca doit etre un réel.

1- determiner base de kerf et imf. idem peut on choisir p=1, on discutera selon les valeur de m.

2-determiner le plus petit entier p vérifiant le lemme.

après on parresa au cas général...

Re,
On peut voir que l'image de f est de dimension 2, car la dernière coordonnées est nulle et que les deux premières dépendent l'une de l'autre.
Une base de ton espace d'arrivée est f1=(-1,m,0,0) f2=(0,0,1,0)
Par le théorème du rang on sait que Ker f est de dimension 2.
f(x,y,z,t)=0 ssi y=0 et x-mz-t=0
Si z=0 cela donne x=y
Si t=0 cela donne x=mz
On a donc une base en prenant f3=(1,0,0,1) et f4=(m,0,1,0)
On ne peut pas choisir p=1, en effet si m=0 on ne peut pas écrire e2 en fonction de f1,f2,f3 et f4
Si m différent de 0 les fi forment une base de notre espace vectoriel donc on a bien que le résultat est vrai avec p=1 si je ne me trompe pas.

ok . la suite et le cas général ce soir !

comme promis la suite !!

on attaque donc le cas général.  on suppose donc que l'endomorphisme f n'est âs bijectif.
a) soit k un entier naturel. montrer que
      kerf^{[/sup]k inclu dans ker[sup]}k+1
   et imf^{[/sup]k+1 inclu dans imf[sup]}k

b) pour tout entier naturel k, on note a_{[/sub]k = dimkerf^{[/sup]k
montrer que la suite a[sub]}}k est croissante.

c) soit F={k appartenant à N | a_{[/sub]k =a[sub]}k+1
montrer quil est non vide

d) en déduire lexistence d'un entier p>=1 qui vérifie
   - quel que soit k appartenant à [[0;p-1]], kerf[sup]k différent de kerf^{[/sup]k+1
   - kerf[sup]}p = kerf<sup>[/sup]p+1

e) montrer que pour tout k >= p : kerf[sup]</sup>k = kerf[sup][/sup]p

f) deduire de ce qui précéde le lemme de fitting

Salut,
a)assez simple
Soit
Soit
Donc si on pose z=f(x) on a

b)provient de l'inclusion que l'on a montré au a) Si et que ce sont des espaces vectoriels alors

c)ak est une suite croissante majorée par la dimension de ton espace vectoriel E, or toute suite croissante majorée converge, donc il existe k tel que

d)Il suffite de prendre la borne inférieure de ton ensemble F, tu peux vérifier aisément qu'un tel k vérifie les propriétés demandées.

e)Ca doit pouvoir se montrer par récurrence sur p. La récurrence est évidente au rang 0 et au rang 1, supposons le résultat établi jusqu'au rang p-1
On sait déja que
Ensuite tu prends c'est à dire
Ainsi par hypothèse
On en conclut que donc aussi par hypothèse de récurrence.
Ainsi tu as la double inclusion et donc l'égalité.

f)Par le théorème du rang tu as que il reste à voir que cette somme est directe
Supposons
et
Donc Donc
Ainsi
Et voila c'est fini pour le cas général si tu veux plus de précsions n'hésite pas.

OUAH  je te remerci beaucoup !! en fait je me rend compte qu'il y avait beaucoup de choses "accessibles" par contre il y a certaines choses qu'il faut que je travaille (si jamai j'ai un problème je te demanderai.. ). en tout cas encore merci et peut etre à bientot !!

en fait oui, ca y est j'ai un problème. Je ne comprend pas pourquoi et comment on peut dire dans la question c)que la suite a[sub][/sub]k est majorée par dim E...
peux-tu m'expliquer stp ?

idem j'arrive pas à rédiger la question d....

Salut
pour c) on a Or ainsi tu as bien la majoration par la dimension de ton espace vectoriel puisque ton noyau est inclus dedans.

d)Soit
il existe puisque F est non vide
Ensuite essaie de vérifier les propriétés demandées.

c cool ca marche ! tout est bon, vérifié et rédigé !!

par contre j'ai encore besoin de précisions pour la récurrence de la question e)...elle ne me semble pas du tout évidente...
déja j'ai un problème avec l'affirmation :
  
   ker f^k \subset ker f^p  
il me semble que l'inclusion inverse est directe grace à la question a)

J'ai juste inversé le role de p et k j'avais pas bien vu la question.

Merci beaucoup !
bonne continuation et a bientot peut etre sur le forum