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Lemme Dimension finie
Bonjour/Bonsoir,
J'éprouve de la difficulté à comprendre une démonstration d'un Lemme très utilisé dans "Les Espaces vectoriels" Le voici :
Lemme :
1) Si x ∈ Vect(x1,x2,...,xn) alors Vect(x1,x2,...,xn,x) = Vect(x1,x2,...,xn)
Démonstration :
Soit a1,a2,...,an) ∈ |K
tq
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi c'est vrai sachant qu'à m'a connaissance on ne sait pas s'il est libre ou lié
@Modérateurs, Je suis sincèrement désolé, je vous pris d'effacer ce sujet, notre professeur vient de rectifier le lemme qui a pour démonstration la démo d'en haut
Bonsoir, si x appartient à l'espace généré par (x1,x2,...,xn) c'est que x est combinaison linaire de ces vecteurs.
Et donc on peut bien écrire qu'il existe une relation liant x et ces vecteurs.
Cette démonstration est destinée au Lemme suivant :
1) Si libre et x n'appartient pas à Vect
alors libre
oui c'est plutôt simple, si x n'appartient pas à Vect c'est qu'il n'est pas combinaison linéaire de ces vecteurs et donc
est libre (car s'ils ne l'étaient pas, il existerait une combinaison linéaire liant ces vecteurs).
salut
il est cependant intéressant et très riche de savoir démontrer proprement et simplement le premier lemme que tu donnes ...
car c'est la pratique et la manipulation des propriétés qui sont l'essence des espaces vectoriels ...
Malgré le fait que je n'ai pas encore acquis assez de "facilité" pour le démontrer je dirais :
On a x appartient au vect donc elle s'écrit sous la forme une combinaison linéaire des autres vecteurs donc elle appartient au vect
( Je crois que cela suffit non ? )
il est évident que E = vec (x_1, x_2, ...., x_n) 
vec (x_1, x_2, ..., x_n, x) = F par définition de "vec" (qui est vraie pour tout x) (mais tu peux quand même dire quelque chose pour le justifier clairement)
c'est l'inclusion réciproque qu'il faut montrer proprement ... en utilisant/rédigeant proprement le fait que x 
E ...
Voici une preuve :
, on utilise la propriété
Mais il est préférable de suivre les conseils donnés plus haut !
carpediem je n'ai pas donné la preuve classique car c'est ce que tu demandais à KrnT, du coup j'en ai donné une autre bien plus élégante que la tienne.
pas nécessairement plus élégante mais très concise oui tout à fait !!
mais toute cette concision provient de mes trois lignes ...
et encore je n'en suis pas sûr !! car le nœuds de la démonstration est la dernière inclusion !!! et c'est celle-là qu'il faut montrer explicitement !!! et donc nécessite mes trois lignes ...
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