Bonjour.

Enoncé du théorème (dans les réels et pas dans C):

Soit I un intervalle et  f:I→ R  continue par morceaux.
Alors lim n→±∞  de _a ^b f(t)cos(nt)dt=0


Ma démonstration me semble trop simple : Dîtes moi si elle est foireuse.

f étant continue par morceaux, on peut la majorer (on prend la maximum sur chaque intervalle sur lesquels elle est continue + le maximum de la subdivision adaptée à f).

Ainsi M tel que  - M phi(t) M pour tout t appartenant à [a,b].

Je multiplie par sin(nt). Le fait que sin(nt ) puisse être négatif ne pose pas de problème puisque la borne M est la même de chaque côté.

Ansi,
- sin(nt)M sin(nt)*phi(t) M sin(nt)

Puis on intègre et on sort le M:
- M sin(nt)dt sin(nt)*phi(t)dt M sin(nt)dt


Puis après intégration on conclut avec le théorème des gendarmes.

La correction de l'exercice (j'ai fait cette démo en exercice) sort des fonctions escalier et fait des trucs plus compliqué. Ducoup j'ai un doute sur la validité de ma démonstration.

Dîtes moi