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Lemme sur la nilpotence

Posté par
Tthb
23-09-20 à 15:36

Bonjour, quelqu'un pourrait m'aider à cette question assez simple mais ou je bloque😅,
Soit u endomorphisme d'indice de nilpotence p, montrer que rg(u^i+1)-rg(u^i)>=1 pour tout i <p, alors il suffit de montrer que dim(ker(u) inter Im(u^i)) est non nulle comme rg(u^i+1)-rg(u^i)=dim(ker(u) inter Im(u^i)).
Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteur
re : Lemme sur la nilpotence 23-09-20 à 15:50

Bonjour

Commence par montrer que si rg(u^{k+1})=rg(u^{k}) alors rg(u^{k+2})=rg(u^{k+1})

Posté par
GBZM
re : Lemme sur la nilpotence 23-09-20 à 15:59

Bonjour,
Tu te trompes de sens : l'image de u^{i+1} est contenue dans l'image de u^i, donc \mathrm{rg}(u^{i+1}) \leq \mathrm{rg}(u^i).
Une façon de faire est de montrer que u induit un morphisme injectif


 \\ \large \ker(u^{i+1})/\ker(u^i) \longrightarrow \ker(u^i)/\ker(u^{i-1})

pour tout i>0.

Posté par
Tthb
re : Lemme sur la nilpotence 23-09-20 à 16:08

Ouii pardon c'est plutot rg(u^i)-rg(u^i+1), par contre j'ai pas bien compris votre idée, en quoi ça va nous servir ?car ça donnerait par le theoreme du rang plutot dim(im(u)inter keru^i+1) alors que c'est pas celle que je veux montrer non nulle.Merci de me clarifier un peu plus

Posté par
GBZM
re : Lemme sur la nilpotence 23-09-20 à 16:26

J'y vais peut-être un peu fort avec las quotients d'espaces vectoriels, je ne sais pas si tu es familier avec cette notion.
Le but est de montrer que  \mathrm{rg}(u^i)-\mathrm{rg}(u^{i+1}) = \dim(\ker(u^{i+1}))-\dim(\ker(u^i)) décroît quand i croît. Ça entraîne que si cette différence est nulle pour un i, elle est nulle pour tous les i plus grand.
Camelia te propose de montrer ce résultat directement.



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