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Les 3 problèmes

Posté par
jaknewman
09-01-19 à 18:34

Salut à tous !

Voici 3 questions de math


1) Soient a, b et c 3 nombres : b = a+1 et c = b+1 [nombres consécutifs] où a (1→ n), b et c > 0  

       Existe-t-il un nombre X formé à partir de a,b et c tel que :
            
                          √X = E                  

E = un nombre entier

2) Soit X un nombre formé avec a, b et c 3 nombres premiers consécutifs (on tâchera de former les triplets abc, bcd, cde, ... à chaque fois). Avec a (2→ n), b et c > 0.

       Trouver  :

a) √X = E                          
b) √X = Ep              

E = un nombre entier
Ep = un nombre entier premier

3) Trouver un nombre X (X>0) vérifiant :

       somme des chiffres de X² < somme des chiffres de X

                       Ne pas considérer X si SC X = SC X²

Merci !

Posté par
jaknewman
re : Les 3 problèmes 09-01-19 à 19:31

La question 3 est assez facile.. mais ça reste quand même des nombres rares et isolés.

Posté par
jaknewman
re : Les 3 problèmes 09-01-19 à 19:53

Oups ! J'ai oublié une S/question pour la question 3

Démontrez que X = {x1, x2,...xn} est un ensemble fini. Autrement dit, démontrez si ces nombres sont finis dans N.

Posté par
carpediem
re : Les 3 problèmes 09-01-19 à 20:43

salut

énoncé totalement incompréhensible !!

trois entiers consécutifs s'écrivent n, n + 1 et n + 2 ou n - 1, n et n + 1 ou ...

Citation :
Existe-t-il un nombre X formé à partir de a,b et c tel que :
formé comment ?

Posté par
dpi
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 09:42

Bonjour

Si je comprends bien par exemple pour 1/    123  132  213 231 312  321

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Posté par
dpi
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 09:56

suite,

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 10:39

Observation...

 Cliquez pour afficher

Posté par
LittleFox
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 11:32

Il faudrait que tu précise comment tu formes un nombre X à partir de 3 nombres a,b,c.

Je suppose que X est la concaténation des écritures de a,b et c. Dans cet ordre là. Correct?

Par exemple avec (a,b,c) = (12,13,14), X = 121314.

Est-ce que je me trompe?

Posté par
LittleFox
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 12:11

Posté par
LittleFox
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 12:13


1) Il n'existe pas de solution avec a 108.
2) Il n'existe pas de solution ni pour a) e donc ni pour b) avec a 5x108.
3) L'ensemble des solutions n'est pas fini puisqu'il contient tous les nombres de la forme 9...949...9 avec n 9 à gauche et n 9 à droite. La somme des chiffres de X est 18n+4 et la somme des chiffres de X² est 9n+7. Or 9n+7 < 18n+4 pour tout n > 0.
Voici quelques solutions:

 Cliquez pour afficher

Posté par
LittleFox
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 12:42

Liste des records pour la 3) avec x 108 plus le dernier record trouvé à la main. Pas sûr qu'elle soit finie ou pas.

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Posté par
LittleFox
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 12:53


Elle n'était pas finie Je me demande s'il y a une limite sur k

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Posté par
dpi
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 13:31

>LittleFox
En attendant jacknewman

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Posté par
LittleFox
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 13:43


Il n'y a définitivement pas de limite sur k En effet la suite :
x2 = 4499
xi+1 = xi 102^i -1
possède un k qui grandi indéfiniment. Dépassant k = 100 pour x10.

Les premiers xi:

 Cliquez pour afficher


sc(x) suit la suite suivante : sc(x2) = 26; sc(xi+1) = sc(xi)+9*2i-1
sc(x²) suit : sc(x2²) = 10; sc(xi+1²) = sc(xi²) + 2*i-1

sc(x) étant exponentiel et sc(x²) quadratique, il n'est pas difficile de se convaincre que k = sc(x)/sc(x²) tend vers l'infini.

Posté par
LittleFox
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 13:46

@dpi

Pour 1) Je n'ai "formé" mes X que dans l'ordre a,b,c. Je pourrais effectivement aussi chercher dans les permutations.
Pour 2) Je n'ai cherché que des valeurs exactes, pas d'approximation
Pour 3) j'ai maintenant des records aussi grand que tu veux

Posté par
LittleFox
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 13:57


Formes closes :
sc(xi) = 9*2^i-i-8
sc(xi²) = i(i-2)+10

k grandi comme 9*2^i/i² quand i tend vers l'infini donc plutôt vite
Mais x grandi encore plus vite, beaucoup plus vite, le nombre de chiffres dans x étant donné par 2i, x grandi comme 102^i

Posté par
dpi
re : Les 3 problèmes 10-01-19 à 16:17

Pour 2/  avec 4 décimales excel me donnait un entier .... hélas.....
Je sais que pour le fun tu vas m'en trouver un beau
A son retour jaknewman  appréciera



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