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Les 5 travaux des nombres premiers (1)

Posté par
jsvdb
19-02-18 à 10:01

Bonjour à tous

Voici le scoop du siècle : l'ensemble \mathbb P des nombres premiers n'est pas fini. Je viens de le découvrir ... ou pas !
Je me propose de vous faire découvrir 5 démonstrations (choisies parmi bien d'autres) de ce résultat. J'espère que vous apprécierez.
Elle reposent toutes sur ce principe : les entiers naturels croissent au delà de toute borne et tout entier naturel n \geq 2  admet un diviseur premier . Ces deux faits contraignent \mathbb P à être infini.
Bien entendu, tout le monde (même moi, c'est dire !) connaît la démonstration d'Euclide qui dit qu'étant donnés les n premiers nombres premiers, on peut en construire un autre en les multipliant tous et en ajoutant 1.

Votre première mission, si vous l'acceptez, est de redémontrer l'infinité de \mathbb P par les nombres de Fermat. Bien entendu, si vous ou un membre de votre équipe était pris, l'agence niera etc etc ...

N'oubliez pas de planquer vos réponses.
Je proposerai un solution dans une semaine.

Posté par
matheuxmatou
re : Les 5 travaux des nombres premiers (1) 19-02-18 à 13:48

Bonjour,

je crois que j'en ai une avec les nombres de Fermat mais il y a peut-être plus simple !

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et merci pour ces petits problèmes !

Posté par
jsvdb
re : Les 5 travaux des nombres premiers (1) 19-02-18 à 22:24

Bonjour matheuxmatou

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Posté par
jsvdb
re : Les 5 travaux des nombres premiers (1) 21-02-18 à 23:47

@matheuxmatou

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Posté par
matheuxmatou
re : Les 5 travaux des nombres premiers (1) 21-02-18 à 23:51

@jsvdb

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Posté par
jsvdb
re : Les 5 travaux des nombres premiers (1) 27-02-18 à 21:57

Bonsoir à tous.
Voici comme promis une rédaction possible de cette mission. Comme matheuxmatou a pratiquement tout dit, je vais presque plagier sa réponse, mais en version déblankée.

Tout d'abord, rappelons la définition d'un nombre de Fermat (1601-1665) : on appelle Nième nombre de Fermat l'entier F_N = 2^{2^N}+1.
Pierre de Fermat avait conjecturé leur primalité mais le jeune Leonhard Euler (1707-1783) réfuta la conjecture en en 1732, montrant que F_5 = 641 \times 6700417.

On note \mathcal F l'ensemble des nombres de Fermat.
Comme la suite (F_n)_n est strictement croissante, \mathcal F est un ensemble infini.

Il existe une façon de définir les nombres de Fermat par récurrence : F_n - 2 = \prod_{k=0}^{n-1}{F_k}, n\leq 1.
Preuve :
On a clairement F_0 = 3 et F_1 = 5.
On constate sans peine que :

\blue \begin {aligned}\prod_{k=0}^{n}{F_k} &= \left(\prod_{k=0}^{n-1}{F_k}\right)F_n \\ &= (F_n-2)F_n \\ &=(2^{2^n}-1)(2^{2^n}+1) \\ &= 2^{2^{n+1}}-1 \\ &= F_{n+1}-2 \end{aligned}

De cette constatation, on tire que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.
En effet, si m est, par exemple, un diviseur de F_k et F_n,~(k<n) alors m divise 2 et par conséquent m=1 ou m=2.
Mais m=2 est impossible puisque les nombres de Fermat sont impairs.


Par conséquent, chaque nombre de Fermat possède dans sa décomposition en facteurs premiers au moins un facteur qu'on ne retrouve pas dans la décomposition des autres.

On a donc une injection \mathcal F \rightarrow \mathbb P. Comme \mathcal F est infini, \mathbb P l'est aussi.



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