Bonjour à tous
Voici le scoop du siècle : l'ensemble des nombres premiers n'est pas fini. Je viens de le découvrir ... ou pas !
Je me propose de vous faire découvrir 5 démonstrations (choisies parmi bien d'autres) de ce résultat. J'espère que vous apprécierez.
Elle reposent toutes sur ce principe : les entiers naturels croissent au delà de toute borne et tout entier naturel admet un diviseur premier . Ces deux faits contraignent à être infini.
Bien entendu, tout le monde (même moi, c'est dire !) connaît la démonstration d'Euclide qui dit qu'étant donnés les n premiers nombres premiers, on peut en construire un autre en les multipliant tous et en ajoutant 1.
Votre première mission, si vous l'acceptez, est de redémontrer l'infinité de par les nombres de Fermat. Bien entendu, si vous ou un membre de votre équipe était pris, l'agence niera etc etc ...
N'oubliez pas de planquer vos réponses.
Je proposerai un solution dans une semaine.
Bonjour,
je crois que j'en ai une avec les nombres de Fermat mais il y a peut-être plus simple !
Bonsoir à tous.
Voici comme promis une rédaction possible de cette mission. Comme matheuxmatou a pratiquement tout dit, je vais presque plagier sa réponse, mais en version déblankée.
Tout d'abord, rappelons la définition d'un nombre de Fermat (1601-1665) : on appelle Nième nombre de Fermat l'entier .
Pierre de Fermat avait conjecturé leur primalité mais le jeune Leonhard Euler (1707-1783) réfuta la conjecture en en 1732, montrant que .
On note l'ensemble des nombres de Fermat.
Comme la suite est strictement croissante, est un ensemble infini.
Il existe une façon de définir les nombres de Fermat par récurrence : .
Preuve :
On a clairement et .
On constate sans peine que :
De cette constatation, on tire que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.
En effet, si est, par exemple, un diviseur de et alors divise 2 et par conséquent ou .
Mais est impossible puisque les nombres de Fermat sont impairs.
Par conséquent, chaque nombre de Fermat possède dans sa décomposition en facteurs premiers au moins un facteur qu'on ne retrouve pas dans la décomposition des autres.
On a donc une injection . Comme est infini, l'est aussi.
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