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Les années bissextiles.

Posté par
lake
15-01-22 à 15:35

Bonjour,

Une amusette que je viens de découvrir.
Le calendrier grégorien (notre calendrier actuel) a commencé le 15 octobre 1582, lendemain du 4 octobre 1582 de l'ancien calendrier julien et les années bissextiles ont été redéfinies lors de la transition  :
Il s'agit de montrer que :

  L'année n est bissextile si et seulement si PGCD(n,80)>PGCD(n,50).

Posté par
verdurin
re : Les années bissextiles. 15-01-22 à 20:04

Bonsoir lake.
C'est une jolie formule.
La justification nécessite d'étudier pas mal de cas.

Posté par
lake
re : Les années bissextiles. 15-01-22 à 21:22

Bonsoir verdurin,

Il faut bien avouer que j'ai été un peu retors sur ce sujet.
En d'autres termes, j'ai contraint et forcé, pour ceux qui ne connaissaient pas, d'aller voir une définition "moderne" d'une année bissextile.
En résumé, une année bissextile est :

   - Une année multiple de 4.
        -Exception : sauf les années de siècles (qui ne sont pas bissextiles).
            - Exception à l'exception : sauf les années multiples de 400 (qui  elles sont bissextiles).

  

Citation :
La justification nécessite d'étudier pas mal de cas.


  Avec 4 cas, on s'en sort

Posté par
verdurin
re : Les années bissextiles. 15-01-22 à 22:27

On a les cas
    non multiple de 100
         non multiple de 4
            multiple de 5
            non multiple de 5
        multiple de 4
            multiple de 5
            non multiple de 5
    multiple de 100
           multiple de 400
           non multiple de 400

Il me semble que ça fait plus de quatre cas.
Mais je n'ai peut-être pas vu des simplifications évidentes.
        

Posté par
verdurin
re : Les années bissextiles. 15-01-22 à 22:32

De fait j'ai oublié des cas.

Posté par
lake
re : Les années bissextiles. 15-01-22 à 22:47

Je pense qu'avec ces 4 cas :

    - 4 divise n et 100 ne divise pas n
    - 400 divise n
    - 4 ne divise pas n
    - 100 divise n et 400 ne divise pas n,

   on a fait le tour de la question.

Posté par
LittleFox
re : Les années bissextiles. 20-01-22 à 15:03


Je teste 400 cas mais au moins c'est simple

>>> import math
>>> def is_leap(year):
...     return year % 4 == 0 and (year % 100 != 0 or year % 400 == 0)
...
>>> all(is_leap(year) == (math.gcd(year, 80) > math.gcd(year, 50)) for year in range(400))
True

Posté par
LittleFox
re : Les années bissextiles. 20-01-22 à 15:20


50 se décompose en 2x5x5
80 se décompose en 2x2x2x2x5

pgcd(80, n) > pgcd(50, n) ssi n est multiple de 4 mais pas multiple de 25 sauf si n est aussi multiple de 80.

Mais être multiple de 4 et 25 est équivalent d'être multiple de 100.
Et être multiple de 4, 25 et 80 est équivalent à être multiplde de PPCM(4, 25, 80) = 400.

On a donc pgcd(80, n) > pgcd(50, n) ssi n est multiple de 4 mais pas multiple de 100 sauf si n est aussi multiple de 400. Ce qui est la définition d'une année bissextile dans le calendrier Grégorgien.

Merci lake pour cette définition que je ne connaissais pas

Posté par
lake
re : Les années bissextiles. 20-01-22 à 16:54

Bonjour Littglefox,

Oui, cette caractérisation m'avait bien plu.
Merci pour ta participation

Posté par
flight
re : Les années bissextiles. 21-01-22 à 16:54

salut

sauf erreur on peut remarquer qu'une année "a"  est bissextile
si  (a - 1904) /4     est un entier  (j'ai trouvé ca bidouillant )

Posté par
jandri Correcteur
re : Les années bissextiles. 21-01-22 à 17:29

C'est faux puisque 2100 n'est pas bissextile (comme 1900).

Posté par
flight
re : Les années bissextiles. 21-01-22 à 18:13

Merci jandri ,donc je rectifie

si "a" n'est pas un multiple de 100  alors "a"  est bissextile  si  
(a - 1904) /4  est un entier  

Posté par
flight
re : Les années bissextiles. 21-01-22 à 18:14

(pour tout "a"  1904

Posté par
Imod
re : Les années bissextiles. 21-01-22 à 18:35

Il y a une simple équivalence : a-1904 \equiv 0 [Mod \ 4] \Leftrightarrow a \equiv 0 [Mod \ 4 ] .

Il me semble que tu peux oublier ton idée Flight

Imod

Posté par
flight
re : Les années bissextiles. 21-01-22 à 19:04

oui on retombe sur quelque chose de deja connu Imod merci

(a non divisible par  100  mais divisble par 4 )



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