Bonjour ptitmax,
je crois pouvoir t'aider mais je sais pas trop si ça répond à ta question...
Si tu veux montrer que les compacts de R sont les fermés-bornés,est ce que c'est pareil de montrer que tout intervalle fermée bornée de R est un compact?
si oui,je pense pouvoir t'aider,sinon bonne chance.

Bonjour

>robby3 Non, il y a des compacts (fermés bornés) qui ne sont pas des intervalles.

>ptitmax ça dépend de la définition que tu as de compact. C'est assez facile de vois qu'un compact est nécessairement fermé borné en utilisant Bolzano-Weierstrass. La réciproque est plus problématique... Il faudrait vraiment savoir de quel matériel tu disposes.

Ok Camélia(Salut au passage ), c'est bien ce que je pensais je n'est pas bien compris la question.

ici,on veut montrer qu'un fermé borné est un compact?

Je pense qu'il veut démontrer une proposition qui en principe est la première traitée dans tout cours: qui est l'équivalence dans R de (fermé borné) avec compact.
Mais il est le seul à pouvoir confirmer.

ok bon je sais pas si j'ai compris, attendons la confirmation
Bonne aprés midi à toi Camélia.

Salut tout le monde !

_{Toujours pas les résultats robby ?}

Salut Fusion!
Si on aeu les résultats=> direction la troisieme année!!
je passe pas les rattrapages. J'ai pas eu des notes exceptionnelles mais juste ce qui faut pour continuer,c'est déja ça,l'année prochaine on verra bien, je vais pouvoir profiter des vacances à fond.
et toi ça a marché?

robby3 (l'année prochaine tu vas t'appeler robby4?)

Et toi, fusionfroide? Tu as eu tes résultats?

Bravo robby !

Camélia >> je n'aurai les miens que lundi !
Enfin ils arrivent demain mais je ne peux pas me déplacer avant lundi

merci merci
Camélia>

merci

salut a tous
dsl de ne pas avoir répondu plus tot
voila en fait je dois montrer la double inclusion:
1/les compacts de R==>sont les ensembles fermés bornés
2/les ensembles fermés et bornés de R===>sont les compacts de R
pour la première on m'a dit de faire par contraposé mais j'ai un peu de mal
pour la deuxième c'est la que j'ai utilisé le théorème de Bolzano-weierstrass

robby3 oui c'est ca tu peux m'aider
camélia par contre je suis partie a l'inverse de toi peux tu m'expliquer comment tu fais avec BW?
merci
max

Salut,
vu que ptimax a montré le théorème :
A: "Tout sous-espace compact d'un espace topologique séparé est fermé."

On peut procéder comme ça:

Si F est compact dans R, F est fermé dans R puisque R est séparé(théorème A).
F est borné puisque du recouvrement ouvert de F: , avec ,
on peut extraire un sous-recouvrement fini, et que le plus grand intervalle de cette famille finie recouvre F.


Ensuite pour montrer que R est séparé il suffit de considérer pour tous réels x,y tels que x<y, un réel z tel que x<z<y ,
on a alors

comme voisinage de x,
comme voisinage de y.

Et ces deux voisinages sont disjoints.


Pour la réciproque : (F est fermé et borné dans R) (F est un sous-espace compact de R)

On peut utiliser le théorème de Heine-Borel-Lebesgue qui dit que tout intervalle fermé borné [a,b] est compact.
Ensuite si F est une partie fermée et bornée de R, il existe un intervalle fermé borné [a,b] contenant F (car F est borné) et F est fermé dans le sous-espace [a,b] (car F est fermé dans R).

Là on peut utiliser ce théorème pour conclure:
B:"Dans tout espace compact, tout sous-ensemble fermé est un sous-espace compact"

je sais donc pas si ça aide mais voici ce que j'ai:

Soit R un recouvrement ouvert de [a,b].
Soit c=(a+b)/2.
Si [a,b] n'admet pas de recouvrement fini par des ouverts de alors [a,c] ou [c,b] n'admet pas de reocuvrement fini par des ouverts de .
Si par exemple [a,c] n'admet pas de recouvrement fini par des ouverts,alors en posant:
a1=(a+c)/2: [a,a1] ou [a1,c] n'admet pas de recouvrement fini...etc(dichotomie et absurde).
On recommence ce raisonnement n fois,pourtout n dans N.
On construit ainsi deux suites (an) et (bn) ([an,bn] inclus dans [a_n-1,b_n-1] pour tout n dans N) telles que:

(bn) décroit,(an) croit et (bn-an) tend vers 0 et pour tout n dans N [an,bn] n'admet pas de reocuvrement fini.(en supposant que [a,b] n'admet pas de recouvrement fini).
Les suites (an) et (bn) sont donc adjacente.Elles sont donc convergentes et ont la meme limite.
Soit e la limite commune de an et bn.
Comme R est un recouvrement de [a,b] ouvert,on sait que e appartient à [a,b] donc il existe O ouvert de / e appartiennent à O.
Comme an->e,bn->e et [an,bn] inclus dans O pour n assez grand.
Si [a,b] n'admet pas de recouvrement fini,alors on aboutit à une contradiction avec la propriété vérifiée par [an,bn].
(on a construit an et bn de sorte que leur intervalle n'admettent pas de recouvrement fini d'ou la contradiction)

Je sais pas si ça a servi a quelque chose mais bon...
Je laisse des personnes plus compétentes prendre le relais...Camélia,Fusion,Romu...Kaiser?
Bonne soirée.

salut robby3 merci pour ta réponse elle m'a bien servie!!
bonne soirée

C'est la démonstration du théorème de Heine-Borel-lebesgue:
Tout intervalle fermé borné [a,b] est compact.

Ptitmax> y'a pas de quoi.
Romu> je savais pas du tout!
A bientot tout le monde.

Bonjour,

Camelia >

Pas mal Frenicle