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Niveau terminale
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les conchoïdes de nicomède

Posté par
gallile
02-11-10 à 11:05

bonjour voila je suis étudiant en terminale S et je bloque sur un sujet donné pas mon professeur

le plan est supposé rapporté à un repère orthonormal (O,i,j).
On désigne par D la droite d'équation x=1 et par k un réel strictement positif
si M est un point de D, le cercle C(M,k) recoupe la droite (OM) en deux points p et q tels que xp>1>xq
on appelle conchoïde de nicomède de pole O, dans le rapport k de la droite D, le lieu des point p lorsque M décrit D. On la note k

1 On pose M(1,t). Déterminer en fonction de t les coordonnés de p
2 en déduire que k a pour equation
P(x;y)k1<xk+1 et (y=x(k²/(x-1)²)-1 ou y=-x(k²/(x-1)²)-1
attention il y a 2 sens a prouver ! et dan le sens retour le point M est a definir il n'est pas donné
3On considère la fct fk definie sur ]1;k+1] par fk=x-1
etudier les variation de fk (on precisera l'equation de l'asymptote verticale:On étudira avec soin la derivabilité de fk en k+1)

j'ai commencé la 1ere question j'obtiens xp = (k²-(yp-t)²) +1 ou
xp=-(k²-(yp-t)²) +1
yp= (k²-(yp-t)²) +t
ou yp= -(k²-(yp-t)²) +t ( le +1 et +t n'appartienne pas à la racine

j'ai donc trouvé les coordonné des points p et q ? pourquoi on me les redemande après  j'espère que vous pourrez répondre à ma question. je m'excuse pour ma difficulté à m'exprimer ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 12:31

Bonjour,

1. Tu n'as pas répondu à la question. On demande les coordonnées de P en fonction de t.

Nicolas

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 12:52

pourtant je suis parti de k = MP =(xp-1)²+(yp-t)²
puis j'ai isolé xp et puis yp et il y a bien t dans mon expression je ne comprend pas pourquoi je ne répond pas à la question

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 13:14

Tes expressions ne permettent pas de calculer xP et yP quand on connaît k et t.
En effet, elles se renvoient l'une à l'autre : tu exprimes xP en fonction de yP et inversement.
On attend
xP = ...
yP = ...
avec uniquement des k, t et des constantes dans les membres de droite.

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 13:26

pense-tu que je dois partir du faite que tan(OMx)=t et que OP=OM+k ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 13:48

Apparemment, tu as exploité que P appartient au cercle etc...
Mais as-tu exploité le fait que P appartient à la droite (OM) ?

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 13:58

a il me faut donc le coefficien directeur

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 14:19

Tu peux essayer de raisonner en vecteurs :

3$\vec{OP}=\vec{OM}+\vec{MP}

3$\vec{OP}=\vec{OM}-\frac{k}{||\vec{OM}||}\vec{OM}

3$\vec{OP}=\left(1-\frac{k}{||\vec{OM}||}\right)\vec{OM}

A creuser...

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 14:28

je pense avoir trouver sans les vecteur
yp=xp*t
OM+k=(1+t²) +k
car le coefficient directeur est t don on a
((1+t²)+k)²=xp²+yp²
((1+t²)+k)²=xp²+(xp*t)²
((1+t²)+k)²=xp²(1+t)
don xp = ((1+t²)+k)²/(1+t)
ou xp = - ((1+t²)+k)²/(1+t)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 15:04

Je ne comprends pas tes calculs.

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 15:15

ba la droit OM a pour coefficient directeur ym-yo/xm-xo donc t
et p OM on a donc yp=xp*t car OM est linéaire
de plus on sait que p est a une distance k + OM de O donc on peut appliqué pythagore d'ou ((1+t²)+k)²=xp²+yp² car k+OM = (1+t²) ce n'est pas juste ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 15:17

OM n'est pas égal à 1+t²

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 15:24

pardon je me suis tromper en effet alors OM= (xm-xo)²+(ym-yo)²
donc OM + k = (1-0)²+(t-o)²  +k
OM + k = 1²+t²  +k
OM+k= (1+t²) + k
donc pour reprendre selon pythagore
((1+t²)+k)²=xp²+yp²
((1+t²)+k)²=xp²+(xp*t)²
((1+t²)+k)²=xp²(1+t²)
xp = ((1+t²)+k)²/(1+t²)
ou xp = - ((1+t²)+k)²/(1+t)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 15:53

Cela se simplifie, non ?
\sqrt{a^2}=a si a positif

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:03

a nouveau une erreur de ma part désolé j'obtien enfaite
xp= (((1+t²)+k)²/(1+t²)
et xp= -(((1+t²)+k)²/(1+t²)

se qui se simplifie en effet par
xp=((1+t²)+k)/(1+t²)
ou xp= - ((1+t²) +k)/(1+t²)
alors qu'en pense tu ?
de plus yp = xp*t donc yp = t*((1+t²)+k)/(1+t²)
ou yp = -t ((1+t²) +k)/(1+t²)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:20

Aux dénominateurs, c'est 1+t² ou V(1+t²) ?

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:21

(1+t²)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:22

Ce n'est pourtant pas ce que tu avais écrit...
Quelle est donc ta proposition ?

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:25

au final on a donc
xp = (((1+t²))+k)/(1+t²)
ou xp = -(((1+t²))+k)/(1+t²)
et yp = t(((1+t²))+k)/(1+t²)
ou yp = -t(((1+t²))+k)/(1+t²)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:27

OK. Il te reste à choisir entre + et -.

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:31

ba xp>1 donc positif donc
xp = (((1+t²))+k)/(1+t²)
et yp= t(((1+t²))+k)/(1+t²)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:36

Je trouve apparemment comme toi :

3$\vec{OP}=\vec{OM}+\vec{MP}

3$\vec{OP}=\vec{OM}+\frac{k}{||\vec{OM}||}\vec{OM}

3$\vec{OP}=\left(1+\frac{k}{||\vec{OM}||}\right)\vec{OM}

3$\left\{x_P = 1+\frac{k}{\sqrt{1+t^2}} \\ y_P = \left(1+\frac{k}{\sqrt{1+t^2}}\right)\,t \right.

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:43

pour la seconde question je ne la comprend pas j'ai l'impression que c'est la même chose que la 1ere

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 16:44

Relis l'énoncé, tu verras que ce n'est pas la même chose.

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 18:04

pourtant on me demande le lieu des point P et j'ai les coordonné de P pour tout M donc c'est la même chose non ?

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 18:08

a j'ai peut-être  trouver comme y = x*t cela voudrai dire que t = ((k²/(x-1)²)-1)
ou t = -((k²/(x-1)²)-1)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 18:08

Non.
On te demande de faire disparaître t.

Par exemple, tu aurais pu trouver :
{ xP = t
{ yP = t²

Et tu en déduirais que l'équation du lieu de P est y=x², c'est-à-dire la parabole.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 18:09

Nos messages se sont croisés.

Il faut passer de :
{ x en fonction de t
{ y en fonction de t
à :
relation directe entre x et y

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 18:13

d'accord je vais essayé merci pour l'indication

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 18:26

oui d'accord donc on a y = x*t on par de x = 1 + k/(1+t²)
et on isole t on obtient donc
y=-x((k²/(x-1)²)-1)
ou y = x((k²/(x-1)²)-1) de plus 1<xk+1 car xp>1 par def

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 18:27

pour le sens contraire je ne comprend pas ce qu'entend mon professeur par le point M est a definir

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 23:09

(réalisé avec Geogebra)

les conchoïdes de nicomède

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 02-11-10 à 23:24

2.
Il faut montrer deux choses :

(1) 3$P(x;y)\in\Gamma_k \Longrightarrow \left\{1<x\le k+1\\y=x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}}-1\mathrm{\ ou\ }y=-x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}}-1\right.

(2) P a pour coordonnées 3$\left\{1<x\le k+1\\y=x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}}-1\mathrm{\ ou\ }y=-x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}}-1\right\} \Longrightarrow P\in\Gamma_k

c'est-à-dire :
P a pour coordonnées 3$\left\{1<x\le k+1\\y=x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}}-1\mathrm{\ ou\ }y=-x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}}-1\right\} \Longrightarrow il existe un M sur la droite d'équation x=1 tel que P se déduise de M par la construction donnée dans l'énoncé

Les racines ont un air étrange. Peux-tu clarifier l'énoncé ?

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 09:38

les racines sont celle que tu as écrit sauf que -1 est compris sous la racine

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 09:45

OK. Je préfère ré-écrire pour avoir un énoncé propre.

2.
Il faut montrer une équivalence (\Longleftrightarrow), c'est-à-dire deux choses :

(1) 3$P(x;y)\in\Gamma_k \Longrightarrow \left\{1<x\le k+1\\y=x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}-1}\mathrm{\ ou\ }y=-x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}-1}\right.

(2) P a pour coordonnées 3$\left\{1<x\le k+1\\y=x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}-1}\mathrm{\ ou\ }y=-x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}-1}\right\} \Longrightarrow P\in\Gamma_k

c'est-à-dire :

(2bis) P a pour coordonnées 3$\left\{1<x\le k+1\\y=x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}-1}\mathrm{\ ou\ }y=-x\sqrt{\frac{k^2}{(x-1)^2}-1}\right\} \Longrightarrow il existe un M sur la droite d'équation x=1 tel que P se déduise de M par la construction de \Gamma_k donnée dans l'énoncé

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 10:07

pour le sens aller :
si P(x;y) k alors:
x>1 par definition et x<k+1
de plus on a P avec x= 1+(k/(1+t²))
et y= (1+(k/(1+t²)))*t
si on isole t avec x= 1+(k/(1+t²)) on a
t=((k²/(x-1)²)-1)
ou t=-((k²/(x-1)²)-1)
et comme y=x*t
on obtient bien les y demander dans l'énoncé
après P a pour equation (x;x((k²/(x-1)²)-1)) ou (x;-x((k²/(x-1)²)-1))
et 1<xk+1 comme x>1 il existe M (1;((k²/(x-1)²)-1)) ou M(1;-((k²/(x-1)²)-1)) tel que POM car P a la droite de coefficient directeur a=-((k²/(x-1)²)-1) ou a=((k²/(x-1)²)-1)
eor si je calcule MP je n'obtient pas k je ne comprend pas

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 10:15

Il faut que tu démontres que le point P, déduit de M, a bien pour coordonnées x et y

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 10:20

pour le quel sens ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 10:24

(2bis), la fin de ton message précédent

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 10:30

tu est d'accord avec la premiere parti ?
pour la second je n'ai aucune info sur le point M

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 10:31

Pour la première partie, je n'ai pas vérifié tes calculs, mais je suis d'accord avec ta démarche.

Pour la seconde, il faut en effet "deviner" quel est le bon point M. C'est ce que souligne l'énoncé.
Il faut bien sûr prendre le point M(1;t) où t = ... (formule vue avant)

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 10:39

oui donc t = (k²/(x-1)²)-1 ou t =- (k²/(x-1)²)-1

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 10:41

Je n'ai pas vérifié tes calculs.
Mais regarde ensuite si le point P déduit de ce point M(1;t) a pour coordonnées x et y.

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 10:45

ok je croit que j'ai compris ce que tu veut dire je vais essayé

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 11:04

je ne vois pas j'ai essayé en posant k²=xk²+yk² mais sa n'as pas abouti

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 13:34

(2bis)
On pose t=\frac{y_P}{x_P}=\pm\sqrt{\frac{k^2}{(x_P-1)^2}-1}
On considère le point M de coordonnées (1;t)
A partir de ce point M, on construit le point P' de \Gamma_k comme proposé par l'énoncé.
Les coordonnées de P' sont :
\left\{x_{P'}=1+\frac{k}{\sqrt{1+t^2}}=...=1+|x_P-1|=x_P\\
 \\ y_{P'}=t\cdot x_{P'}=t\cdot x_P=y_P\right.
Donc les points P et P' sont confondus
Or P' appartient à \Gamma_k par construction.
Donc P aussi.

Sauf erreur !

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 13:58

je ne comprend pas pourquoi valeur absolu de xp-1+1 = xp

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 14:04

Quelle est la définition de |a| ?

Posté par
gallile
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 14:07

valeur absolu de a = a et valeur absolu de -a = a

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : les conchoïdes de nicomède 03-11-10 à 14:08

Non.
si on te suit, |-2| = -2, ce qui est faux.
Relis ton cours.

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