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les courbes de Von Koch

Posté par sylvain (invité) 16-03-04 à 17:52

voici un petit exercice que j'ai bien du mal a trouver ...
po est un triangle équilatéral de coté 1.on partage chaque coté de Po
en trois segments de même longueur , puis on construit sur le segment
du milieu de chacun des côtés ( et extérieurement à po )un nouveau
triangle équilatéral et on effeace les segments communs aux nouveaux
triangles et à à l'ancien polygone po: on obtient le polygone
P1 . on réitère indéfiniment le processus et on obtient une suite
de polynome Po, P1, ..., Pn
pour le polygone Pn, on note Cn le nbre de ses cotés , Ln la longuer de
chaque coté , Pn son périmètre, An son aire .

1 calculer C1 L1 P1 A1       , C2 L2 P2 A2
2 exprimer C( n+1) en fonction de c en déduire l'expression de
Cn en fonction de n
exprimer L( n+1) en fonction de Ln en déduire l'expression de ln en fonction
de n.
Déterminer l'expression de Pn en fonction de n quelle est la limite de
la suite ( pn)

3démontrer que : A(n+1)= An + (Rac(3)/12) x (4/9)^n , et end éduire que pour
tout n supérieur ou égal à 1 , a(n+1) = Ao + rac(3)/12 x ( 1 + 4/9
+ (4/9)^2 + ... + (4/9)^n )

quelle est la limite de la suite ( an )
quelle conclusion peut on faire a cet exercice
...

Posté par
Victor
re : les courbes de Von Koch 16-03-04 à 19:48

Bonsoir

1) Rappel : l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est
égale à
a²V3/4

C1 = 12
L1 = 1/3
P1 = 4
A1=V3/4+V3/9

C2=48
L2=1/9
P2=48*1/9

2) C(n+1)=Cn*4
C'est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme C0=3 donc Cn=3*4^n

L(n+1)=Ln/3
C'est une suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme L0=1
Donc Ln=(1/3)^n

Pn=Ln*Cn=3*(4/3)^n
Sa limite est donc +infini car 4/3 > 1.

An+1 = An + Cn*aire d'un triangle de côté Ln+1

An+1 = An + 3*(4^n)*(1/9)^(n+1)*V3/4
An+1= An+V3/12.(4/9)^n

La formule suivante s'obtient en remplaçant An par sa formule en
fonction de An-1, .... jusqu'à A0.

( 1 + 4/9 + (4/9)^2 + ... + (4/9)^n ) a pour limite :
1/(1-4/9)=9/5

Donc An a pour limite :
Ao + rac(3)/12 * 9/5 et A0=V3/2

La conclusion de cet exercice est de remarquer que le polygone obtenu
après une infinité d'itérations a un périmètre infini mais une
aire qui n'est pas infinie.(le polygone obtenu est même limité
par un cercle)

Remarque culturelle : ce flocon de Von Koch est un exemple de ce que les mathématiciens
appellent les courbes fractales.

@+



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