Pour Pythagore je sais que la démonstration est faite en algèbre en MPSI dans le cadre d'un espace vectoriel préhilbertien (et ou la famille considérée est orthogonale)

Mais sinon il suffit juste d'introduire le produit scalaire et la norme associée... Donc ca doit etre démontrable en 1ere, pas avant - Mais bon en premiere depuis longtemps ce théorème est oublié -

Soit un triangle rectangle rectangle en A
Soit AB= AC= BC=

But Montrer que ||AB||²+||AC||²=||BC||²
On a =+

donc ||AB||²=(,)
=(+,+)
=(,+)+(,+) (Le produit scalaire étant bilinéaire donc linéaire par rapport a la premiere variable)
=(,)+(,)+(,)+(,)
=||||²+||||+2(,) ( Le produit scalaire étant symétrique)
Or (,)=0 car et sont orthogonaux
Donc on a bien la relation voulue

Par contre pour la droite du milieu je vois pas trop de quoi il s'agit... Mais il doit encore avoir un outil suffisament puissant (ou bourrin... Selon le point de vue...) pour le démontrer...

Bonjour,

Géométriquement c'est démontrable avec des outils de collège.

C'est vrai qu'il a plus simple (c'est fou j'y pense que maintenant...)

avec le sinus et le cosinus
Si ABC est rectangle en A
cosB=AB/BC
sinB=AC/BC

On met au carré et on somme les deux...

(Par contre sauf erreur de ma part c'est du niveau 3e non? (Bon c'est tjs mieux que niveau 1S me direz vous...)

Philosophie.

Les démos en math sont comme la poule et l'oeuf.

On ne peut se servir pour une démo que ce qui a été établi précédemment.
  
Il existe une multitude de démonstrations du théorème de Pythagore, certaines très simples et rapides et d'autres moins, mais les rapides font souvent appel à des théorèmes ou propriétés qui doivent donc avoir été démontrés préalablement.

On ne peut pas se servir de l'oeuf pour dire que la poule existe et ensuite se servir de la poule pour dire que l'oeuf existe.

Mais ce n'était probablement pas le but de la question de plumemeteore.

Salut J-P

Tout dépend quels axiomes on utilise, ce n'est pas un cercle vicieux.

En partant d'Euclide j'ai en tête la démo avec le triangle rectangle autour duquel on construit un carré sur chaque segment.

moi j'ai démontré pythagore et thalès au collège
et c'est avec une carré dans le quel on inscrit un carré un peu plus petit et qui a subit une légère rotation, et la je crois qu'on se servait du dévellopement de (a+b)²

JP si tu considère Pythagore dans un R-ev préhilbertien tu introduit quelque chose de nouveau... En MPSI, on suppose quasiment rien et on tombe sur des caractérisation assez précise...

1/R² est bien un R-ev - Définition d'un Espace Vectoriel -
2/la famille (i,j) est bien orthornormé - Définition du produit scalaire, et d'une base-
3/on se sert aussi du caractère bilinéaire du produit scalaire
4/Le produit scalaire euclidien (ou canonique mince ca m'échappe) est bien un produit scalaire (sinon ca nous aiderais pas si une poule bleue était un chat...)

Mais en aucun cas avant on se sert de Pythagore...


De plus je me rend compte que la démo avec le cos et sin lui parcontre explique mais ne démontre pas. cos et sin sont construit via Thales et Pythagore...

Bon je vais juste rappeler qu'il existe une jolie petite relation dite de Pythagore

Si (e1,...,ep) est une famille d'un espace vectoriel E muni d'un produit scalaire

Si (e1,...,ep) est une famille orthogonale:
||ei||²=||ei||²
(les sommes allant de 1 a p)

Preuve
Dévelloper le produit scalaire de ei par lui meme... (car tout produit scalaire est bilinéaire)
Puis faire disparaitre tout les (ei|ej) quand i différent de j car la famille est orthogonale...

bonjour H-Espace
le fait que pour tout angle aigu , sin² + cos² est une conséquence directe, un corollaire du théorème de Pythagore; s'en servir pour démontrer celui-ci serait faire les choses à l'envers
la démonstration la plus simple est de partager le triangle rectangle rectangle par sa hauteur en deux autres triangles semblables à lui-même, car ils ont les angles égaux, et de constater que les longueurs respectives des trois triangles sont proportionnelles aux côtés du grand triangle et que leurs aires respectives sont proportionnelles aux carrés de ces côtés
il y a plusieurs démonstrations graphiques, dont une utilise plusieurs fois le fait que des parallélogrammes, rectangles ou carrés ayant la même base et  la même hauteur ont la même aire

une énigme issue du théorème de Pythagore : découper un triangle rectangle pour reconstituer un carré avec les morceaux

Oui c'est un peu pour ca que je l'ai précisé plus loin (euh sinon pour la démo dans le pire des cas on passe par la definition de sin et cos étant la partie paire et impaire de la fonction exponentielle complexe...))

mais oui le cos et le sin sont défini pour le college via Thales et Pythagore (Thales sert a affirmer l'egalité du rapport a angle constant)

Par contre même si ca montre que cela est juste, ca démontre rien...

Donc non je pense pas que cela démontrable avec les outils de college... - Enfin heuresement si on pouvait faire de vraies démo depuis le college et que le programme fait qu'elles sont introduites qu'en terminales ca serait grave...-

Et sinon c'est bien beau j'ai introduit ma jolie relation (bourrinement recopiée du H-Prépa...) mais j'ai oublié de dire pourquoi elle s'applique
- Le R² (ie le plan via un morphisme) est un R-ev
- Les vecteurs proches de l'angle droit sont bien orthogonaux... - Redite monstrueuse - ils constituent donc bien une famille orthogonale
- la somme des deux fait bien le vecteur porté par l'hypothesus au signe pres

Salut infophile,

Je n'ai pas voulu dire qu'il n'était pas possible de tout démontrer sans cercle vicieux en math.

Ce que j'ai essayé de dire, c'est que il fallait faire ce qu'il faut pour ne pas utiliser des théorèmes non déjà démontrés pour en démontrer un autre.
  
Cela implique que certaines démo peuvent paraître très laborieuses mais que cela peut être du au pré acquis de ceux qui faisaient cette démo.

Par exemple, si on veut démontrer Pythagore en utilisant les sinus et cosinus comme dans le message du 26/10/2007 à 10:29, il faut savoir comment ces sinus et cosinus ont été préalablement définis, car souvent ces notions sont introduites via le théorème de Pythagore (et notemment le fameux cos²x+sin²x = 1) et dans ce cas, on a affaire à l'histoire de la poule et l'oeuf.
Par contre si les sinus et cosinus ont été définis sans passer (même indirectement) par Pythagore, alors pas de problème.

JP je comprend ce que tu veux dire. Mais l'art (que j'aime pas plus que ca puis que je finis trois quart du temps enlisé...) de la démo n'est pas d'un élève du secondaire.

Je suis d'accord, d'ailleurs j'ai un peu de mal à voir où débutent les maths, car on n'a pas une seule progression linéaire.

En gros jusqu'au bac on fait les maths un peu a l'envers (en géométrie)... exemple tout bete on fait angle,Pythagore,Produit scalaire alors que dans le supérieur on commence plutot a parler d'ensemble, de magma, de groupe/anneau, puis on attaque les espaces vectoriels, les histoires de bases puis on réactes le produits scalaires et compagnie

Le programme d'algèbre des 1ere année de CPGE va de rien (mais alors pour faire simple et court notre prof de sup nous a dit:"Oubliez tout, on reprend depuis le début") et se termine sur a peu pres tout ce qui a été vu jusqu'en terminales mais en dimension supérieure a 2 (voire 3)

On vient de terminer ce que ma prof appelerait de la cuisine : "Trigo, complexes, coniques, polaires, fonctions..." et à la rentrée on attaque l'algèbre

Bonjour

lol pour le magma c'est vrai qu'il était loin des volcans (si seulement il était italien...)

Bonjour,

à ma connaissance, tous les théorèmes de collège sont démontrables au moment où on les donne.

Certains sont assez compliqués (du genre la réciproque de Pythagore je crois).

Après, chaque prof peut décider s'il fait la démonstration ou non.

Moi, je fais les démonstrations quand elles apportent vraiment quelque chose. Sinon, on peut se contenter d'une phase d'observations, puis une conjecture et enfin on admet le théorème.

En ce qui concerne le théorème de Pythagore, il existe des centaines de démonstrations différentes ...